СПОСОБ ПРОФИЛИРОВАНИЯ СВИП-СИГНАЛА ВИБРАТОРА Российский патент 2009 года по МПК G01V1/28 

Предпосылки создания изобретения

При регистрации сейсмических данных сейсмические волны используют для определения основных свойств, ориентации и местоположения подземных геологических формаций. В конце 1950-х годов фирма Conoco, Inc. осуществила первые разработки метода геофизических исследований нового вида, в настоящее время известного как "вибросейсмические" исследования. При вибросейсмических исследованиях сейсмический вибратор используют для формирования управляемого волнового пакета, который проходит через грунт и обнаруживается сейсмическими приемниками. Оператор вибратора выбирает интервал возбуждения (свип-сигнала), равно как и последующий период времени, в течение которого вибратор не возбуждают. Отраженные сигналы принимают в течение временного интервала, когда вибратор возбуждают и когда не возбуждают. Обычно возбуждение имеет форму синусоидальных колебаний с непрерывно изменяющейся частотой, прикладываемых к поверхности грунта (или к толще воды) в течение длительности свип-сигнала, продолжающейся от около 2 до около 20 с или даже больше.

Возможны свип-сигналы различных видов, в каждом из которых используют убывание амплитуды некоторого вида в начале и в конце свип-сигнала, для гарантирования плавного спада к нулю амплитуды свип-сигнала в его конечных точках. Частота свип-сигнала может изменяться со временем линейно или нелинейно. Обычным сигналом является линейный свип-сигнал. Линейный свип-сигнал представляет собой сигнал синусоидального типа, имеющий по существу постоянную огибающую амплитуды, при этом частота сигнала изменяется линейно со временем, монотонно увеличивается или уменьшается в пределах заданного частотного диапазона, а частота качания (зондирования) постоянная. Нелинейный свип-сигнал представляет собой сигнал синусоидального типа, при этом частота изменяется со временем нелинейно.

Недавно был разработан сигнал нового вида, известный как "профилированный свип-сигнал", предназначенный для использования при вибросейсмических исследованиях. Технология профилированного свип-сигнала раскрыта, например, в патенте США №5347494 (Andersen). Одно преимущество, обусловленное использованием профилированного свип-сигнала, заключается в том, что такой свип-сигнал рассчитан на получение длительности автокорреляционного импульса и спектра импульсной характеристики, при которых облегчается последующий процесс обработки данных.

При вибросейсмических исследованиях для получения коррелированной записи осуществляют коррелирование данных, которые формируются в результате действия вибрационного источника, с опорным свип-сигналом. Опорный свип-сигнал обычно представляет собой идеальный сигнал, для применения которого программируют вибратор. Коррелированная запись напоминает обычную сейсмограмму, получаемую в случае использования взрывных или импульсных сейсмических источников.

В области сейсмики хорошо известно, что нежелательным побочным продуктом при использовании сейсмических сигналов, создаваемых вибрацией, является "энергия боковых лепестков". Боковые лепестки являются побочным продуктом корреляционного процесса и удлиняют и усложняют требуемый коррелированный сейсмический импульс. Визуально энергия боковых лепестков воспринимается как небольшие колебания по каждую сторону от трех центральных лепестков сейсмического импульса. Энергия боковых лепестков ухудшает качество данных и неблагоприятно влияет на возможность оценивания и регулирования сейсмического импульса при обработке. Поэтому существует необходимость в получении корреляционных данных от вибратора, которые имеют простую форму импульса с минимальной энергией боковых лепестков. При таких данных уменьшится искажение сейсмического сигнала и повысится разрешающая способность сейсмических исследований.

Пытаясь решить проблему боковых лепестков, Rietsch, "Vibroseis signals with prescribed power spectrum", Geophysical Prospecting, vol.25, pp.613-620 (1977), вывел зависимость между функцией мгновенной фазы свип-сигнала и его спектральной плотностью мощности для свип-сигналов, имеющих постоянную огибающую амплитуды. Эта зависимость основана на том, что спектр мощности обратно пропорционально связан со скоростью изменения частоты свип-сигнала. Rietsch предложил способ для определения соответствующей фазовой функции для свип-сигнала, который имеет определенный заданный спектр мощности, означающий, что способ может быть использован для синтеза свип-сигналов с автокорреляционными функциями, которые имеют небольшие боковые лепестки. Теоретически, используя эту зависимость, можно рассчитывать свип-сигналы, имеющие заданный спектр мощности; однако электронные системы управления вибраторами того времени не могли точно воспроизводить или отслеживать задаваемый пользователем свип-сигнал.

После публикации способа, который предложил Rietsch, появилось новое поколение аппаратуры для управления вибраторами, основанной на микропроцессорной технологии, обеспечивающей возможность строгого управления выходной силой вибратора (как по амплитуде, так и по фазе). В результате этого прогресса возникла возможность более точного воспроизведения и отслеживания вибратором свип-сигналов, задаваемых пользователем. Например, Andersen в патенте США №5347494, полностью включенном в настоящую заявку посредством ссылки, для получения улучшенных форм импульсов с минимальной энергией боковых лепестков дополнил способ, который предложил Rietsch, использовав контур обратной связи, который осуществляет компенсацию благодаря полезному действию непостоянной огибающей (конусности) амплитуды. Кроме того, Andersen предложил использовать определенные спектры мощности, которые позволяют получать по существу трехлепестковый импульс. Rietsch и Andersen используют способы, в которых фазовая функция свип-сигналов связана с их спектром мощности.

Недавно разработанным технологиям каскадных свип-сигналов отчасти присуща проблема боковых лепестков, описанная выше. В этих технологиях многочисленные свип-сигналы (сегменты), связанные один за другим, излучают посредством вибратора и регистрируют во время одного периода прослушивания по окончании каскадного свип-сигнала. По сравнению с известными способами это существенно сокращает в полевых условиях время, необходимое для регистрации данных. Затем осуществляют коррелирование данных по каскадному свип-сигналу с каскадной последовательностью опорного свип-сигнала. Вследствие каскадирования свип-сигналов в коррелированных данных проявляется повторяющаяся (сегментная) структура. Как следствие этой структуры боковые лепестки первых вступлений в одном сегменте могут продолжиться в предыдущий сегмент, маскируя слабые отражения и, следовательно, ухудшая качество данных.

В области техники, к которой относится изобретение, существует необходимость в эффективных и производительных способах улучшения качества вибросейсмических данных. Такие способы позволят получать импульсы с минимальной энергией боковых лепестков, решать проблему боковых лепестков в данных по каскадным свип-сигналам и получать сконфигурированные данные, когда каскадные свип-сигналы используют при одновременном возбуждении двух или более вибрационных источников.

Сущность изобретения

Согласно настоящему изобретению предложены способы формирования конфигураций сейсмических импульсов с минимальной энергией боковых лепестков. Согласно способам профилируют мгновенную частоту свип-сигнала для получения автокорреляционного импульса, который представляет собой по существу трехлепестковый импульс с минимальной энергией боковых лепестков. Мгновенная частота f(t) является нелинейной функцией времени t и может быть представлена многочленом степени n. Многочлен образуют путем изменения его коэффициентов и степени до тех пор, пока не получают требуемый автокорреляционный импульс. Способы согласно настоящему изобретению могут быть использованы для синтеза каскадных свип-сигналов и, кроме того, могут быть применены к каскадным свип-сигналам, одновременно излучаемым двумя или более источниками.

Таким образом, способы включают в себя этапы, во-первых, профилирования мгновенной частоты исходного свип-сигнала и, во-вторых, автокоррелирование. Исходный свип-сигнал с соответствующей мгновенной частотой будет иметь автокорреляционный импульс с минимальной энергией боковых лепестков. В одном варианте осуществления настоящего изобретения этап профилирования содержит вычисление мгновенной частоты исходного свип-сигнала; внесение затухания в мгновенную частоту исходного свип-сигнала в пределах областей конусности; вычисление мгновенной фазы исходного свип-сигнала и вычисление исходного профилированного свип-сигнала. Кроме того, в этом варианте осуществления этап коррелирования содержит вычисление погрешности между автокорреляционной функцией профилированного свип-сигнала и требуемым автокорреляционным импульсом и определение того, снижается ли вычисленная погрешность ниже заданного порогового значения.

Краткое описание чертежей

Для возможности детального понимания способа, из которого выше перечислены признаки настоящего изобретения, более конкретное представление об изобретении, кратко изложенном выше, можно получить путем обращения к вариантам осуществления изобретения, которые описаны в настоящей заявке и иллюстрированы в приложенных чертежах. Однако следует отметить, что описанием и приложенными чертежами иллюстрируются только некоторые варианты осуществления этого изобретения и, следовательно, они не должны считаться ограничивающими его объем, при этом для изобретения можно допустить существование других, равным образом эффективных, вариантов осуществления.

На чертежах:

фиг.1 - схема последовательности операций, иллюстрирующая один вариант осуществления основного способа согласно настоящему изобретению;

фиг.2 - схема последовательности операций для одного варианта осуществления способа согласно настоящему изобретению, в котором минимизирована разность между вычисленным и требуемым автокорреляционным импульсом;

фиг.3А - график мгновенной частоты в начале четырехсекундного профилированного свип-сигнала;

фиг.3В - график мгновенной частоты в конце четырехсекундного профилированного свип-сигнала;

фиг.4 - кривая хода погрешности в продолжение профилирования свип-сигнала для случая автокорреляционного импульса Рикера 50 Гц;

фиг.5А - график мгновенной частоты линейного свип-сигнала;

фиг.5В - вид автокорреляционного импульса линейного свип-сигнала;

фиг.5С - график мгновенной частоты профилированного свип-сигнала;

фиг.5D - вид автокорреляционного импульса профилированного свип-сигнала;

фиг.6А - первая часть исходных данных от каскадного линейного свип-сигнала;

фиг.6В - первая часть исходных данных от каскадного профилированного свип-сигнала для случая того же самого пункта возбуждения колебаний вибратором;

фиг.7А - сейсмические данные из фиг.6А после коррелирования для случая использования линейного свип-сигнала;

фиг.7В - сейсмические данные из фиг.6В после коррелирования для случая использования профилированного свип-сигнала;

фиг.8А - последняя часть коррелированных данных свип-сигнала для случая линейного свип-сигнала;

фиг.8В - последняя часть коррелированных данных свип-сигнала для случая профилированного свип-сигнала;

фиг.9А - исходные данные от каскадных профилированных свип-сигналов, зарегистрированные в случае одновременного использования двух источников;

фиг.9В - данные, выделенные из данных от каскадного свип-сигнала из фиг.9А и сжатые, для случая левого источника; и

фиг.9С - данные, выделенные из данных от каскадного свип-сигнала из фиг.9А и сжатые, для случая правого источника.

Подробное описание изобретения

Задача метода профилированных свип-сигналов заключается в разработке способов формирования свип-сигнала вибратора для образования сигнала простой формы с минимальной энергией боковых лепестков после корреляции. Исходные свип-сигналы, используемые для возбуждения вибраторов, представляют собой, за исключением областей конусности, свип-сигналы постоянной амплитуды. Свип-сигналом, чаще всего используемым при регистрации данных, является линейный свип-сигнал с постоянной частотой качания (с линейной мгновенной частотой). Однако также часто используют нелинейные свип-сигналы и образуют их путем изменения частоты качания во время перестройки частоты. При этом спектральный состав и автокорреляционный импульс могут быть видоизменены при сохранении постоянной огибающей амплитуды. Нелинейные свип-сигналы обычно используют для компенсации затухания сигнала, которое происходит, когда сигнал проходит через геологические формации. Все же независимо от того, являются ли свип-сигналы линейными или нелинейными, автокорреляционные импульсы этих свип-сигналов представляют собой многолепестковые импульсы с обычно исключительно медленно спадающими боковыми лепестками.

В отличие от способов из предшествующего уровня техники в способах настоящего изобретения для минимизации энергии боковых лепестков не используют зависимость между фазовой функцией исходного свип-сигнала и его спектром мощности. Вместо этого в способах настоящего изобретения путем оптимизации процесса профилируют мгновенную частоту для получения автокорреляционного импульса, который является по существу трехлепестковым импульсом с минимальной энергией боковых лепестков.

На фиг.1 представлена схема последовательности операций способа согласно настоящему изобретению. Обычно на этапе 10, применяя алгоритм, профилируют мгновенную частоту исходного свип-сигнала. Затем находят автокорреляцию этого исходного свип-сигнала. При этом получаемый автокорреляционный импульс имеет пониженную энергию боковых лепестков.

На фиг.2 представлен один вариант осуществления способа, показанного на фиг.1. Что касается фиг.2, то выбирают (этап 100) многочлен степени n и порядка, например, около 10. На этапе 102 вычисляют мгновенную частоту f(t) исходного свип-сигнала. Мгновенная частота f(t) является нелинейной функцией времени t и описывается многочленом степени n:

где коэффициенты a_i, временной сдвиг τ и степень n представляют собой параметры, которые используют при формировании свип-сигнала. Исходные значения параметров могут быть следующими:

где: Т - длительность свип-сигнала; и

f₀ и f_i - соответственно начальная и конечная частота линейного свип-сигнала, который должен использоваться в районе исследований.

Значение a₀ должно быть примерно равно центральной частоте f_c корреляционного импульса и должно выбираться так, чтобы оно находилось в пределах диапазона частот многократного использования в районе исследований. Начальное значение a₁ может иметь вид

и, как хорошо известно, представляет собой частоту качания линейного свип-сигнала. Начальными значениями для других коэффициентов (i>1) являются

a_i=10^-(i-2) в случае 2≤i≤n,

которые являются достаточно малыми, чтобы тем самым исключались численные неустойчивости при вычислении многочлена.

В дополнение к этому предпочтительно получить функцию мгновенной частоты: 1) которая является положительной при 0≤t≤T и 2) где f монотонно возрастает со временем. Однако обычно оба требования не удовлетворяются во все моменты времени в течение качания частоты. В частности, в случае многочленов очень высокой степени f(t) в уравнении (1) стремится к экстремально высоким положительным или отрицательным значениям на обоих концах опоры многочлена, то есть в пределах областей конусности.

Поэтому для получения указанных выше свойств функция мгновенной частоты должна быть затухающей (этап 104) в пределах областей конусности исходного свип-сигнала. Это осуществляют путем вычисления взвешенной суммы многочлена в уравнении (1) и другой линейной частотной функции d(t):

где: d_u и d_d - линейные частотные функции в областях соответственно подъема и спуска по конусу;

w_u и w_d - соответствующие весовые функции;

f_мин и f_макс - частотные границы, задаваемые пользователем; и

t_{конусности} - длительность конусности, в этом варианте осуществления предполагаемая равной протяженности областей подъема и спуска по конусу.

При использовании линейной затухающей функции d(t) уравнением (5) определяется затухающая мгновенная частота. Вместо использования линейных функций в других вариантах осуществления могут использоваться квадратичные функции.

Уравнением (5) гарантируется, что функция f_s(t) мгновенной частоты начинается при f_мин и заканчивается при f_макс. Однако не гарантируется, что f_s(t) действительно является монотонной функцией. Поэтому уравнение (5) применяют повторно (этап 105) до тех пор, пока не будет достигнуто монотонное поведение мгновенной частоты. Путем использования уравнений (1) и (5) настоящего изобретения была определена мгновенная частота для четырехсекундного профилированного свип-сигнала. Результаты, полученные в пределах областей конусности профилированного свип-сигнала, можно видеть на фиг.3. Область конусности свип-сигнала имеет протяженность 0,2 с. Кривая, обозначенная как "исходный многочлен", относится к мгновенной частоте согласно уравнению (1). Кривая, обозначенная как "затухающий многочлен", относится к мгновенной частоте после повторных применений уравнения (5) при f_мин=3 Гц и f_макс=150 Гц.

После достижения монотонного характера вычисляют (этап 106) мгновенную фазу. Мгновенная фаза φ(t) представляет собой интеграл мгновенной частоты f_s(t):

Интегрирование уравнения (6) осуществляют численным способом. Затем вычисляют (этап 108) профилированный свип-сигнал, определяемый как:

где: A(t) - огибающая амплитуды; и

φ₀ - начальная фаза.

Вычисляют (этап 110) автокорреляционную функцию S(t) и сравнивают с требуемым автокорреляционным импульсом. Вычисляют и сохраняют (этап 114) погрешность, сумму квадратов разности между вычисленным и требуемым автокорреляционными импульсами. После вычисления погрешности определяют (этап 114), произошло ли снижение погрешности ниже порогового значения (или нет снижения при последующих итерациях). Если в ответ на определение, выполненное на этапе 114, следует ответ "да", то погрешность ниже порогового значения (или не снижается при последующих итерациях) и процесс останавливают (этап 116). Если погрешность не ниже порогового значения, выполняют дополнительную итерацию процесса.

Для продолжения минимизации разности между вычисленным и требуемым автокорреляционными импульсами в способе использован процесс оптимизации, такой как метод Левенберга-Маркварта (Press, Teukolsky, Vettering, Flannery, "Numerical recipes", Cambridge University Press). Вместо использования метода Левенберга-Маркварта специалисты в области техники, к которой относится изобретение, могут выбрать любой другой алгоритм оптимизации, пригодный для минимизации погрешности. Процесс оптимизации включает в себя этапы 100-110 повторной итерации. При осуществлении этого процесса итерации степень многочлена из этапа 100 повышают (этап 118), например, до 1(n+1). Дополнительно определяют (этап 119) производные автокорреляционной функции из этапа 110 и используют (этап 120) для оценивания новых параметров. Наконец, на этапе 118 новый многочлен (n+1) и на этапе 120 новые параметры используют для вычисления другой, еще более оптимизированной мгновенной частоты (этапы 102-114).

На фиг.4 показан ход погрешности в течение процесса профилирования свип-сигнала согласно настоящему изобретению для случая требуемого автокорреляционного импульса, который представляет собой импульс Рикера 50 Гц. В этом примере погрешность по существу перестает снижаться, когда степень многочлена достигает 60.

Пример 1

На фиг.5A-5D приведены для сравнения функции мгновенной частоты и автокорреляционные импульсы обычного линейного свип-сигнала 10-100 Гц (фигуры 5А и 5В) и профилированного свип-сигнала, полученного путем использования способов настоящего изобретения и имеющего центральную частоту 50 Гц (фиг.5С и 5D). Оба свип-сигнала имели длительность четыре секунды, а длительность конусности была 0,2 с. Начальная и конечная частоты, f_мин и f_макс, использованные в уравнении (5) для профилированного свип-сигнала, были 3 Гц и 150 Гц соответственно. В конце подъема по конусу (t=0,2 с) частота профилированного свип-сигнала составляет около 15 Гц, а в начале спуска по конусу (t=3,8 с) частота профилированного свип-сигнала составляет около 110 Гц. Уровень боковых лепестков автокорреляционной функции профилированного свип-сигнала примерно на 60 дБ ниже основного лепестка трехлепесткового импульса.

Пример 2

На фиг.6А и 6В показана первая часть исходных данных по каскадному свип-сигналу, полученных для одной и той же геологической модели путем использования линейного свип-сигнала (фиг.6А) и свип-сигнала, спрофилированного согласно способам настоящего изобретения (фиг.6В). Данные имеют нелинейные искажения пятого порядка, пять сегментов плюс период прослушивания на протяжении длительности, при этом длительность каждого сегмента и периода прослушивания составляет четыре секунды. Начальные фазы сегментов равны 0, 144, 288, 72 и 216°.

На фиг.7А и 7В отображены коррелированные данные (из фиг.6А и 6В) после коррелирования с линейным свип-сигналом (фиг.7А) и с профилированным свип-сигналом (фиг.7В). Повышение качества данных при использовании профилированного свип-сигнала является очевидным. Данные по линейному свип-сигналу кажутся "зашумленными" по сравнению с данными по профилированному свип-сигналу. Вступление первой волны в данных по профилированному свип-сигналу намного более отчетливое и более хорошо выражено, чем в данных по линейному свип-сигналу, и может быть полезным для уточнения статических поправок. Кроме того, боковые лепестки высокого уровня в данных по линейному свип-сигналу маскируют слабые отражения, которые ясно видны в данных по профилированному свип-сигналу (отмечены стрелками).

На фиг.8А и 8В показана последняя часть коррелированных данных линейного свип-сигнала (фиг.8А) и профилированного свип-сигнала (фиг.8В). Высокоамплитудный шум с гиперболическим приращением времени, видимый в данных по линейному свип-сигналу, охватывающих последние приходящие отражения (видимые на фиг.8А), представляет собой энергию боковых лепестков сдвинутых по фазе первых вступлений в последующем сегменте. Этот эффект обычно выражен и часто имеет место в коррелированных данных в течение одной или двух секунд. Однако, когда используют профилированный свип-сигнал, этот эффект намного слабее вследствие сильного подавления боковых лепестков (фиг.8В).

Пример 3

На фиг.9А-9С показаны данные по каскадным профилированным свип-сигналам при использовании одновременно двух источников. В случае регистрации данных с использованием одного источника или вибрационной установки результат, аналогичный результату, показанному на фиг.7В и 8В для профилированного свип-сигнала, может быть получен при использовании линейного свип-сигнала и применении формирующего фильтра при обработке данных. Формирующий фильтр преобразует измеряемое толкающее усилие опорной плиты вибратора в требуемый импульс. Однако то, как хорошо это работает, зависит от того, как хорошо измеряемое толкающее усилие отображает действительное толкающее усилие, прикладываемое к грунту. Кроме того, такое формирование данных после регистрации не работает удовлетворительно в случае коррелированных данных каскадных свип-сигналов вследствие перемещения боковых лепестков первых вступлений в следующий сегмент и из следующего сегмента.

Кроме того, формирование данных после регистрации совершенно не удается в случае исходных данных по каскадным свип-сигналам, которые регистрируют, используя два или более источников одновременно. Сначала одновременно действующие источники должны быть разделены без сжатия свип-сигналов (с сохранением исходных данных) до того, как формирующий фильтр можно будет применить для осуществления формирования данных. Разделение источников возможно в случае использования известных схем поворота фаз, но существенно замедляет обработку. Поэтому формирование после регистрации данных от многих источников считается практически нецелесообразным.

С другой стороны, как можно видеть из фиг.9А-9С, на формирование при предварительной регистрации в случае применения профилированных свип-сигналов не влияет число одновременно действующих источников. На фиг.9А показаны исходные данные по каскадным свип-сигналам, зарегистрированные для случая двух одновременно действующих источников при использовании профилированных свип-сигналов. На фиг.9В показаны данные по профилированному свип-сигналу от левого источника, которые выделены и сжаты путем осуществления коррелирования. На фиг.9С показаны соответствующие данные от правого источника.

Уравнения, приведенные выше, являются иллюстративными примерами, которые могут быть использованы для профилирования мгновенной частоты свип-сигнала для получения трехлепесткового автокорреляционного импульса с минимальной энергией боковых лепестков согласно способам настоящего изобретения. Однако эти уравнения не должны рассматриваться как ограничивающие объем изобретения. Специалисты в области техники, к которой относится изобретение, должны осознавать, что конкретные уравнения, используемые для реализации профилирования мгновенной частоты, являются предметом личного удобства и выбора и что их производные могут быть использованы столь же эффективно.

Предложенное изобретение относится к способам для образования профилированных свип-сигналов и к регистрации соответствующих вибросейсмических данных. Данное изобретение позволяет получать импульсы сейсмического сигнала с минимальной энергией боковых лепестков при одновременном возбуждении двух или более источников. Предложен способ уменьшения энергии боковых лепестков импульса, представляющего автокорреляцию исходного свип-сигнала, который заключается в профилировании мгновенной частоты исходного свип-сигнала, при этом указанная мгновенная частота является нелинейной функцией времени t, а мгновенную частоту представляют многочленом степени n; и автокоррелировании исходного свип-сигнала. 17 з.п. ф-лы, 17 ил.

1. Способ уменьшения энергии боковых лепестков импульса, представляющего автокорреляцию исходного свип-сигнала, включающий в себя:

профилирование мгновенной частоты исходного свип-сигнала; при этом указанная мгновенная частота является нелинейной функцией времени t, a мгновенную частоту представляют многочленом степени n; и

автокоррелирование исходного свип-сигнала.

где а_i обозначает коэффициенты, τ - временной сдвиг, n - степень и t обозначает время.

где Т обозначает длительность свип-сигнала, τ - временной сдвиг, f₁ и f₀ - соответственно начальная и конечная частоты линейного свип-сигнала и f_c - центральная частота корреляционного импульса.

где f(t) - мгновенная частота исходного свип-сигнала, W_u и соответствующие весовые функции, f_min и f_max - частотные границы, задаваемые пользователем, t_{конусности} - длительность конусности, d_u и d_d - линейные частотные функции в областях соответственно подъема и спуска по конусу, d(t) - линейная затухающая функция.

где f_s(t) обозначает мгновенную частоту.

где A(t) обозначает огибающую амплитуду, φ₀ - начальная фаза, φ(t) представляет мгновенную фазу.

вычисление мгновенной частоты исходного свип-сигнала;

внесение затухания в мгновенную частоту исходного свип-сигнала в пределах областей конусности;

вычисление мгновенной фазы исходного свип-сигнала;

вычисление исходного профилированного свип-сигнала.