Изобретение относится к учебно-наглядным пособиям, в частности к учебным приборам по математике, и может быть использовано при изучении приемов вычисления определителей квадратных матриц.
Наиболее близким к предлагаемому изобретению является учебный прибор по математике, выбранный в качестве прототипа и обеспечивающий наглядность операции перемножения матриц. Его техническая сущность основана на мнемонике выполнения операций с матрицами - этот признак прототипа, выраженный общим понятием на уровне функционального обобщения, совпадает с существенным признаком заявляемого изобретения. Другим совпадающим признаком является бумажный носитель числовых значений матричных элементов. Помимо этого, прототип имеет линейку с продольным пазом и расположенный в пазу движок в виде поворотного диска с визирной линией, проходящей по его диаметру, на поверхности линейки нанесены две взаимно перпендикулярные линии для визирования столбцов и строк матриц, при этом диск и линейка выполнены из прозрачного материала [1] .
Недостатком известного прибора является то, что он предназначен только для операции перемножения матриц. Известный прибор не позволяет демонстрировать такую, например, сложную и важную в прикладном отношении операцию, как вычисление определителя квадратной матрицы.
Заявляемое изобретение направлено на решение задачи улучшения наглядности вычисления определителя квадратной матрицы и облегчения выбора сомножителей "правильных" (произведение элементов квадратной матрицы будем называть "правильным", если эти элементы расположены в разных строках матрицы, т. е. из каждой строки берется по одному элементу; в разных столбцах матрицы т. е. из каждого столбца также берется по одному элементу) произведений матричных элементов.
Эта задача решается при помощи прибора, основанного на мнемонике выполнения операций с матрицами, содержащего бумажный носитель числовых значений матричных элементов, корпус с пазом и выдвижной трафарет, в котором прорезано шестнадцать прямоугольных окон для записи матричных элементов (по четыре окна в каждом из четырех вертикальных рядов), кроме того, третий и четвертый вертикальные ряды окон, считая слева, имеют прямоугольные фишки, способные перекрывать в каждом из данных вертикальных рядов любое сочетание окон из четырех по три, при этом третий и четвертый вертикальные ряды окон, считая слева, снабжены направляющими для перемещения фишек, а на фишках четвертого вертикального ряда окон промаркированы цифры 1, 2 и 3.
Прибор имеет также крышку, в которой прорезано шестнадцать прямоугольных окон, повторяющих размеры окон выдвижного трафарета и расположенных точно над ними в готовом к работе приборе, кроме того, прибор имеет две выдвижные планки, одна из которых способна перекрывать одновременно два, в другая - одновременно три окна в любом из горизонтальных рядов окон крышки, при этом каждый горизонтальный ряд окон снабжен направляющими для размещения планок, а на крышке промаркированы цифры 1,2,3 и 4, представляющие собой номера горизонтальных рядов окон крышки.
Сопоставительный анализ с прототипом позволяет сделать вывод, что заявляемый прибор отличается тем, что он имеет корпус с пазом и выдвижной трафарет, в котором прорезаны шестнадцать прямоугольных окон для записи матричных элементов (по четыре окна в каждом из четырех вертикальных рядов), кроме того, третий и четвертый вертикальные ряды окон, считая слева, имеют прямоугольные фишки, способные перекрывать в каждом из данных вертикальных рядов любое сочетание окон из четырех по три, при этом третий и четвертый вертикальные ряды окон, считая слева, снабжены направляющими для перемещения фишек, а на фишках четвертого вертикального ряда окон промаркирован цифры 1, 2 и 3.
Меняя посредством возможных сочетаний позиции фишек в направляющих третьего и четвертого вертикальных рядов окон трафарета, перекрывают (исключают) последние столбцы исходной матрицы и миноров, оставляя всякий раз открытым только то окно, где записан элемент, по которому в данный момент происходит разложение определителя или минора. Подобная совокупность приемов улучшает наглядность выделения элементов, по которым осуществляется разложение определителя исходной матрицы и его миноров.
Цифры 1, 2 и 3, промаркированные на фишках четвертого вертикального ряда окон, служат для указания номера строки минора, в которой располагается сомножитель "правильного" произведения. Тем самым значительно облегчается определение знака сомножителя.
В частном случае выполнения заявляемый прибор отличается еще и тем, что он имеет крышку, в которой прорезаны шестнадцать прямоугольных окон, повторяющих размеры окон выдвижного трафарета и расположенных точно над ними в готовом к работе приборе, кроме того, прибор имеет две выдвижные планки, одна из которых способна перекрывать одновременно два, а другая - одновременно три окна в любом из горизонтальных рядов окон крышки, при этом каждый горизонтальный ряд окон снабжен направляющими для размещения планок, а на крышке промаркированы цифры 1, 2, 3 и 4, представляющие собой номера горизонтальных рядов окон крышки.
Меняя позиции выдвижных планок в направляющих крышки, перекрывают (исключают) те или иные строки исходной матрицы и миноров. В результате при вычислении того или иного "правильного" произведения матричных элементов неперекрытыми остаются лишь те окна прибора, в которых записаны сомножители вычисляемого "правильного" произведения. Использование прибора в комплекте с крышкой и выдвижными планками улучшает выделение указанных выше сомножителей и значительно облегчает их выбор.
Цифры 1, 2, 3 и 4, промаркированные на крышке, служат для указания номера строки матрицы, в которой располагается сомножитель "правильного" произведения. Тем самым облегчается определение знака сомножителя.
В целом предлагаемая мнемоника позволяет за счет искусственных ассоциаций без труда запомнить необходимые алгоритмические шаги.
На фиг. 1 изображен предлагаемый прибор со снятой крышкой, вид в аксонометрии; на фиг. 2 и 5 - корпус в сборе с выдвижным трафаретом и бумажным носителем числовых значений элементов квадратной матрицы, при этом на фиг. 2 на бумажном носителе записаны числовые значения элементов квадратной матрицы третьего порядка, а на фиг. 5 - числовые значения элементов квадратной матрицы четвертого порядка; на фиг. 3 - исходное положение; на фиг. 4 - одно из положений выдвижной планки и прямоугольных фишек при вычислении определителя третьего порядка; на фиг. 6 - исходное положение; на фиг. 7 и 8 - одно из положений выдвижных планок и прямоугольных фишек при вычислении определителя четвертого порядка.
Заявляемое устройство описывается в частном случае выполнения, т. е. в комплекте с крышкой и выдвижными планками. Именно в этом случае достигается наиболее полно технический результат изобретения.
Прибор для вычисления определителя матрицы можно изготовить из пластмассы, дерева и любого другого подходящего материала. Прибор (фиг. 1) содержит корпус 1 с пазом, в котором размещается выдвижной трафарет 2, и бумажный носитель 3 числовых значений элементов квадратной матрицы.
В выдвижном трафарете 2 прорезано шестнадцать прямоугольных окон (по четыре окна в каждом из четырех вертикальных рядов), в которых на бумажный носитель записывают значения матричных элементов. В качестве бумажного носителя используется плотная бумага, например ватман.
Третий и четвертый вертикальные ряды окон трафарета, считая слева, окантованы направляющими для перемещения в третьем ряду - трех прямоугольных фишек 4, в четвертом ряду - трех прямоугольных фишек 5. На фишках четвертого вертикального ряда окон промаркированы цифры 1, 2 и 3, необходимые для нумерации строк в минорах третьего порядка.
Корпус 1 в сборе с выдвижным трафаретом 2, бумажный носитель 3 и фишки 4, 5 закрываются крышкой 6, в которой прорезано шестнадцать прямоугольных окон, повторяющих размеры окон выдвижного трафарета и расположенных точно над ними в готовом к работе приборе. Кроме того, прибор имеет две выдвижные планки - короткую 7, способную перекрывать одновременно два окна в любом из горизонтальных рядов окон крышки, и длинную 8, способную перекрывать одновременно три окна в любом из горизонтальных рядов окон крышки.
Каждый горизонтальный ряд окон крышки располагается между направляющими, в которых можно разместить любую из двух выдвижных планок.
На крышке прибора промаркированы цифры 1, 2, 3 и 4, представляющие собой номера горизонтальных рядов окон крышки.
Предлагаемый прибор позволяет демонстрировать последовательность действий при вычислении определителей третьего и четвертого порядков. Использование в качестве примеров определителей более высоких порядков, требующих очень большого числа арифметических операций, нецелесообразно, так как принцип формирования "правильных" произведений квадратной матрицы не зависит от ее порядка. Усвоив общий принцип на сравнительно несложных примерах, обучаемые смогут распространить его не вычисление определителей более высоких порядков (составив, например, программу для ЭВМ).
Порядок действий при работе с предлагаемым прибором соответствует разложению определителя исходной матрицы и его миноров по элементам последнего столбца. Алгоритмические шаги легко запоминаются за счет искусственных ассоциаций, обусловленных конструкцией прибора и возникающих при работе с ним.
При вычислении того или иного "правильного" произведения матричных элементов неперекрытыми остаются лишь те окна прибора, в которых записаны сомножители вычисляемого "правильного" произведения.
Меняя позиции короткой планки 7 и фишек 4, перекрывают (исключают) ту или иную строку и последний столбец матрицы третьего порядка, оставляя открытым элемент M, по которому осуществляется разложение определителя (или минора) третьего порядка.
Меняя позиции длинной планки 8 и фишек 5, перекрывают (исключают) ту или иную строку и последний столбец матрицы четвертого порядка, оставляя открытым элемент N, по которому осуществляется разложение определителя четвертого порядка.
Предлагаемое устройство не выполняет разложение миноров второго порядка, поскольку схема вычисления определителя второго порядка достаточно проста и может быть составлена без применения мнемотехники, (фиг. 9).
Здесь a1, a2, a3, a4 - элементы квадратной матрицы второго порядка. Отрезок, отмеченный знаком "+", соединяет два элемента, произведение которых следует взять со знаком "+", а отрезок, отмеченный знаком "-", соединяет элементы, произведение которых следует взять со знаком "-". Алгебраическая сумма a1a4-a2a3 является определителем квадратной матрицы второго порядка.
Работают с предлагаемым устройством следующим образом.
П р и м е р 1. Пусть, например, требуется наглядно показать вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка 1 2 -3 -2 1 2 1 -5 4.
В паз корпуса 1 прибора вкладывают лист плотной бумаги (бумажный носитель 3) и вставляют до упора в этот же паз выдвижной трафарет 2. Через окна трафарета 2 в его левом верхнем углу записывают числовые значения элементов матрицы (фиг. 2).
Вкладывают три фишки 4 между направляющими третьего вертикального ряда окон трафарета 2. Отчет вертикальных рядов окон ведут при этом слева. Закрывают прибор крышкой 6.
Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка состоит из трех операций.
На первой операции короткую выдвижную планку 7 размещают до упора в направляющих третьего горизонтального ряда окон крышки 6. Позиция планки 7 в данном случае соответствует ее исходному положению при вычислении определителя третьего порядка (фиг. 3).
В исходном положении планки 7 и исходном совместном положении фишек 4 остаются неперекрытыми только те окна прибора, в которых просматриваются сомножители двух первых "правильных" произведений матрицы:
a1ja4jMj и -a2ja3jMj, где a1j = 1; a2j = 2; a3j = -2; a4j = 1; Mj = 4.
Суммируя два первых "правильных" произведения, получим
a1ja4jMj - a2ja3jMj или (a1ja4j - a2ja3j)Mj, (1) где j = 1.
Знак сомножителя Mj зависит от суммы номеров того столбца и той строки матрицы, в которых сомножитель Mj располагается. Если данная сумма четная, то Mj имеет знак "+", если нечетная - то знак "-". Поскольку разложение определителя исходной матрицы осуществляется по элементам последнего столбца, то для квадратной матрицы третьего порядка номер столбца, в котором располагается сомножитель Mj, всегда равен трем, а номер Lj строки, в которой находится этот сомножитель, определяют по цифрам, промаркированным на крышке 6. В исходном положении планки 7 и исходном положении фишек 4 Lj = 3 и, следовательно, сумма номеров столбца и строки матрицы 3+3 четная. Сомножитель Mj, таким образом, положителен. Как уже указывалось выше, Mj = 4.
Первая операция вычисления определителя заканчивается подсчетом по формуле (1) суммы двух первых "правильных" произведений матрицы в исходном положении планки 7 и фишек 4
(1 ˙ 1 - 2 ˙ (-2))˙ 4 = 20.
После этого приступают ко второй операции вычисления определителя квадратной матрицы третьего порядка. Короткую выдвижную планку 7 размещают до упора в направляющих второго горизонтального ряда окон крышки 6. Позиция планки 7 в данном случае соответствует второму из трех положений, которые планка 7 занимает при вычислении определителя третьего порядка (фиг. 4).
Воздействуя на фишки 4 через окна крышки 6, перемещают их так, чтобы окно, расположенное в одном горизонтальном ряду с планкой 7, оказалось неперекрытым. В этом окне будет просматриваться элемент Mj, по которому осуществляют разложение определителя на второй операции вычисления. Позиции фишек 4 в данном случае соответствуют второму из трех совместных положений, которые фишки 4 занимают при вычислении определителя третьего порядка (фиг. 4).
Во втором положении планки 7 и втором совместном положении фишек 4 остаются неперекрытыми только те окна прибора, в которых просматриваются сомножители двух вторых "правильных" произведений матрицы
a1ja4jMj и -a2ja3jMj, где a1j = 1; a2j = 2; a3j = 1; a4j = -5; Mj = -2; j = 2.
По цифрам, промаркированным на крышке 6, определяют номер Lj строки, в которой находится сомножитель, Mj: Lj = 2. Получается, что сумма (3+2) номеров столбца и строки матрицы, в которых располагается сомножитель Mj, нечетная. Сомножитель Mj, таким образом, отрицателен. Как уже указывалось выше, Mj = -2.
Вторая операция вычислений определителя заканчивается подсчетом суммы двух вторых "правильных" произведений матрицы
(1 ˙ (-5) - 2 ˙ 1)˙ (-2) = 14, и сложением полученного результата с суммой предыдущих "правильных" произведений
20 + 14 = 34.
Третья операция вычисления определителя предусматривает размещение "до упора" короткой выдвижной планки 7 в направляющих первого горизонтального ряда окон крышки 6. Фишки 4 оставляют неперерекрытым окно, расположенное в первом горизонтальном ряду. Сомножители двух третьих "правильных" произведений матрицы
a1ja2jMj и -a2ja3jMj, где a1j = -2; a2j = 1; a3j = 1; a4j = -5; Mj = -3; j = 3.
Номер Lj - единица, сумма номеров столбца и строки (3+1) четное число, сомножитель Mj положителен.
Третья операция заканчивается сложение всех шести "правильных" произведений квадратной матрицы третьего порядка, т. е. подсчетом значения искомого определителя матрицы
((-2) ˙ (-5) - 1 ˙ 1)˙ (-3) = -27;
det = 34 - 27 = 7.
Таким образом, на каждой операции вычисления определителя, планка 7 и фишки 4 перекрывают окна прибора, в которых записаны элементы матрицы, не участвующие в формировании "правильных" произведений. Вместе с тем, планка 7 и фишки 4 оставляют открытыми сомножители "правильных" произведений a1j, a2j, a3j, a4j, Mj (j = 1, 2, 3), что улучшает наглядность вычисления определителя и облегчает выбор сомножителей.
Вычисление определителя матрицы с помощью предлагаемого устройства становится достаточно трудоемким, если элементы матрицы представлены многозначными числами. В этом случае полезно дополнить прибор программируемым микрокалькулятором.
Изображенная на фиг. 10 блок-схема алгоритма вычисления определителя квадратной матрицы третьего порядка ориентирована на применение программируемого микрокалькулятора типа "Электроника МК 61". Блок-схема предназначена для автоматизации арифметических операций и для наглядного представления описанных в примере 1 алгоритмических шагов.
П р и м е р 2. Пусть, например, требуется наглядно показать вычисление определителя квадратной матрицы четвертого порядка 1 2 0 1 2 1 3 4 1 1 0 2 5 2 1 0.
В паз корпуса 1 прибора вкладывают лист плотной бумаги (бумажный носитель 3) и вставляют "до упора" в этот же паз выдвижной трафарет 2. Через окна трафарета 2 записывают числовые значения элементов матрицы (фиг. 5).
Вкладывают три фишки 4 между направляющими третьего вертикального ряда окон трафарета 2 и три фишки 5 между направляющими четвертого вертикального ряда окон трафарета 2. Отсчет вертикальных рядов окон ведут при этом слева. Закрывают прибор крышкой 6.
Вычисление определителя квадратной матрицы четвертого порядка осуществляется в четыре этапа. Каждый этап, в свою очередь, состоит из трех операций.
На первом этапе длинную выдвижную планку 8 размещают "до упора" в направляющих четвертого горизонтального ряда окон крышки 6, а короткую выдвижную планку 7 - в направляющих третьего горизонтального ряда окон крышки 6. Позиции планок 7 и 8 в данном случае соответствуют их исходному положению при вычислении определителя четвертого порядка (фиг. 6).
Воздействуя на фишки 5 через окна крышки 6, перемещают их так, чтобы окно, расположенное в одном горизонтальном ряду с планкой 8, оказалось неперекрытым. Воздействуя подобным же образом на фишки 4, перемещают их так, чтобы окно, расположенное в одном горизонтальном ряду с планкой 7, оказалось также неперекрытым. В открытых окнах будут просматриваться элементы Ni и Mj, по которым осуществляют первоначальное разложение определителя исходной матрицы и минора третьего порядка. Позиции фишек 4 и 5 в данном случае соответствуют их исходному совместному положению при вычислении определителя четвертого порядка (фиг. 6).
В исходном положении планок 7, и фишек 4, 5 остаются неперекрытыми только те окна прибора, в которых просматриваются сомножители двух первых "правильных" произведений матрицы:
a1ja4jMjNi и -a2ja3jMjNi, где a1j = 1; a2j = 2; a3j = 2; a4j = 1; Mj = 0; Ni = 0; j = 1; i = 1.
Суммируя два первых "правильных" произведения, получим
a1ja4jMjNi -a2ja3jMjNi или (a1ja4j-a2ja3j)MjNi (2).
Номер столбца, в котором располагается сомножитель Mj, всегда равен трем, а номер Lj строки, в которой находится этот сомножитель, определяют по цифрам, промаркированным на фишках 5. В исходном положении планок 7, 8 и фишек 4, 5 Lj = 3 и, следовательно, сумма номеров столбца и строки (3+3) четная. Сомножитель Mj, таким образом, положителен.
Номер столбца, в котором располагается сомножитель Ni, всегда равен четырем, а номер Qi строки, в которой находится этот сомножитель, определяют по цифрам, промаркированным на крышке 6. В исходном положении планок 7, 8 и фишек 4, 5 Qi = 4 и, следовательно, сумма номеров столбца и строки (4+4) четна. Сомножитель Ni, таким образом, также положителен.
Первая операция на первом этапе вычисления определителя заключается в сложении по формуле (2) двух первых "правильных" произведений матрицы в исходном положении планок 7, 8 и фишек 4, 5
(1 ˙ 1 - 2 ˙ 2 )˙ 0˙ 0 = 0.
После этого приступают к выполнению второй операции на первом этапе. Планку 7 перемещают вверх - в следующий по высоте горизонтальный ряд неперекрытых окон. Воздействуя на фишки 4, располагают их так, чтобы открытым стало окно, находящееся в одном горизонтальном ряду с перемещенной планкой 7.
Позиции планок 7, 8 и фишек 4, 5 в данном случае соответствуют одному из двенадцати совместных положений, которые планки 7, 8 и фишки 4, 5 занимают при вычислении определителя четвертого порядка (фиг. 7).
Номер Lj переменится и станет равным двум, а номер Qi сохранится (Qi = 4). Соответственными будут знаки сомножителей Mj и Ni.
Вторая операция на первом этапе вычисления определителя заключается в подсчете по формуле (2) суммы двух последующих "правильных" произведений матрицы при j = 2, i = 1:
(1 ˙ 1 - 2 ˙ 1)˙ (-3) ˙ 0 = 0 и сложением полученного результата с суммой предыдущих "правильных" произведений
0 + 0 = 0.
Третья операция на первом этапе вычисления определителя предусматривает вновь перемещение планки 7 в следующий по высоте горизонтальный ряд неперекрытых окон при неизменном положении планки 8. Фишки 4 открывают окно на уровне перемещенной планки 7. Номер Lj становится равным единице, а номер Qi не изменяется, j = 3, i = 1. Осуществляются вычисления
(2 ˙ 1 - 1 ˙ 1)˙ 0˙ 0 = 0;
0 + 0 = 0.
На этом заканчивается первый этап вычисления определителя квадратной матрицы четвертого порядка. Характерным признаком этапа является то, что параметры j, Lj, Mj изменяют свои значения на каждой их трех операций, изменяется и знак Mj, параметры же i, Qi, Ni остаются неизменными, не меняется и знак Ni.
Аналогичное состояние задается указанными параметрами на трех последующих этапах вычисления.
На втором этапе выдвижную планку 8 перемещают вверх - в следующий по высоте (третий) горизонтальный ряд окон крышки 6, i становится равным двум. Планку 7 размещают в направляющих самого нижнего (четвертого) горизонтального ряда окон крышки 6. Манипулируют фишками 4 и 5. В результате параметры Qi, Ni приобретают новые значения. Выполняют по формуле (2) первую операцию второго этапа, складывают полученный результат с суммой предыдущих "правильных" произведений матрицы.
Дальнейшие действия однотипны. Вторая и третья (фиг. 8) операции связаны с перемещением планки 7 в выше расположенный горизонтальный ряд неперекрытых окон при неизменном положении планки 8, а каждый последующий этап вычисления определителя сопровождается перемещением планки 8 на один шаг вверх. Манипулируют фишками 4, 5. Наращивают сумму "правильных" произведений матрицы.
Изображенная на фиг. 11 блок-схема алгоритма вычисления определителя квадратной матрицы четвертого порядка предназначена для автоматизации арифметических операций и для наглядного представления описанных в примере 2 алгоритмических шагов. Схема ориентирована на применение микрокалькулятора типа "Электроника МК 61".
Заметим, что подпрограмма вычисления a1ja4j-a2ja3j представляет собой линейный алгоритм, состоящий из арифметических операций умножения и вычитания.
Приведем в справочных целях еще две блок-схемы для микрокалькулятора типа "Электроника МК 61" (фиг. 12,13, на фиг. 12 изображена блок-схема алгоритма вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка; на фиг. 13 - подпрограмма вычисления P = p ˙ c).
Технический результат заявляемого учебно-наглядного пособия следующий: прибор улучшает наглядность вычисления определителя квадратной матрицы и облегчает выбор сомножителей "правильных" произведений матричных элементов. (56) Авторское свидетельство СССР N 1221677, кл. G 09 B 23/02, 1986.
Использование: в учебно-наглядных пособиях, в частности в учебных приборах по математике, при изучении приемов вычисления определителей квадратных матриц. Сущность изобретения: для улучшения наглядности вычисления определителя квадратной матрицы и облегчения выбора сомножителей "правильных" произведений матричных элементов прибор, основанный на мнемонике выполнения операций с матрицами, содержит бумажный носитель числовых значений матричных элементов, корпус с пазом и выдвижной трафарет, в котором прорезаны прямоугольные окна для записи и просмотра матричных элементов, крышку с идентичными окнами и выдвижными планками. Окна трафарета могут перекрываться фишками, а окна крышки - выдвижными планками. Трафарет и крышка снабжены направляющими, трафарет - для перемещения фишек, крышка - для размещения выдвижных планок. На фишках четвертого вертиклаьного ряда окон, считая слева, промаркированы цифры 1, 2 и 3, а на крышке - цифры 1, 2, 3 и 4. 1 з. п. ф-лы, 13 ил.
