СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТА ПОВРЕЖДЕНИЯ НА ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЯХ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ (ВАРИАНТЫ) Российский патент 2014 года по МПК G01R31/08 

Предлагаемое изобретение относится к электроизмерительной технике и может быть использовано при создании отдельных микропроцессорных устройств для определения места повреждения (короткого замыкания), а также в микропроцессорных терминалах дифференциальной защиты линии в качестве дополнительной опции определения места повреждения, на одноцепных и двухцепных линиях электропередачи на основе измерения параметров аварийного режима с двух сторон линии.

Двухсторонний замер параметров аварийного режима в отличие от одностороннего замера параметров аварийного режима при определении места повреждения повышает точность определения места повреждения.

Известен способ, в основу которого [Аржанников Е.А., Чухин A.M. Методы и приборы определения места короткого замыкания на линиях: Учебное пособие/ Ивановский государственный энергетический университет, г. Иванове, 1998. - 74 с.] заложено предположение о том, что сопротивление в месте повреждения имеет чисто активный характер, и как следствие, реактивная мощность в месте повреждения равна нулю. Таким образом, критерием повреждения является равенство нулю реактивной мощности в месте повреждения, для определения которой используются мнимая часть системы из трех произведений комплекса напряжения и сопряженного тока в месте повреждения в системе симметричных или фазных координат. Метод реализуется следующим образом, сперва фиксируют момент повреждения, измеряют в начале и в конце линии напряжения и токи первой гармоники в доаварийном и аварийном режимах. Полученные величины токов и напряжений передают на противоположный конец линии, где определяют ток в месте короткого замыкания, как сумму токов на концах линии. Затем, меняя расстояние от нуля до величины, равной длине линии, находят для каждой точки линии с определенным шагом напряжение, как разность между напряжением в конце линии и падением напряжения до предполагаемой точки повреждения. Для каждой из точек через произведение комплекса напряжения и сопряженного комплексного тока в месте повреждения находят полную мощность, мнимая часть от которой равна реактивной мощности в предполагаемом месте короткого замыкания. Точка, в которой реактивная мощность окажется минимальной и будет являться местом повреждения. Такой расчет проводится либо для всех трех фаз линии, либо для всех трех последовательностей симметричных составляющих, что позволяет повысить точность процедуры определения места повреждения.

Однако наиболее известен способ определения места повреждения по параметрам аварийного режима по измерению с двух сторон линии, в котором определяют напряжение нулевой или обратной последовательности в месте повреждения сперва через токи и напряжения нулевой или обратной последовательности начала линии, затем через токи и напряжения нулевой или обратной последовательности конца линии [Аржанников Е.А., Чухин A.M. Методы и приборы определения места короткого замыкания на линиях: Учебное пособие/ Ивановский государственный энергетический университет, г. Иванове, 1998. - 74 с.]. Приравнивая напряжения нулевой или обратной последовательностей, определенные через параметры аварийного режима начала линии и параметры аварийного режима конца линии, определяют расстояние до места повреждения. Указанный способ может применяться в двух видах. В упрощенном виде при определении расстояния до места повреждения используются только индуктивные сопротивления, что позволяет передавать с одного конца линии на другой только модули напряжения и тока, однако такое допущение приводит к дополнительной погрешности. В полном виде при определении места повреждения указанным способом необходимо использовать активные и реактивные сопротивления и передавать с одного конца линии на другой не только модули напряжения и тока, но и угол сдвига, т.е. передавать вектора токов и напряжений, что усложняет задачу, но и повышает точность определения места повреждения.

Описанный последним метод, принимаемый в качестве прототипа, обладает высокой точностью, но при этом имеет один существенный недостаток - необходимость передачи значительного объема данных с одного конца линии на другой, т.е. переноса от одного конца линии к другому векторной величины как тока, так и напряжения.

Техническая задача изобретения заключается в повышении или, как минимум, сохранении точности определения места повреждения двухсторонним методом на параллельных воздушных линиях электропередачи с двухсторонним или односторонним питанием при сведении к минимуму информации, передаваемой с одного конца линии на другой.

Особенно это актуально для микропроцессорных терминалов дифференциальной защиты линий, полукомплекты которой устанавливаются по концам линии и обмениваются информацией посредством оптоволоконной связи. Как правило, такие устройства по принципу действия передают с одного конца линии на другой информацию только о векторах тока (примером могут служить устройства MiCOM серии 5хх), но не передают вектора напряжения, что не позволяет использовать прототип и другие аналоги для определения места повреждения. Переделывать протоколы связи, чтобы появилась возможность передачи дополнительных величин (векторов напряжений) задача трудоемкая и дорогая. Более логичным решением является реализация метода определения места повреждения на основе уже передаваемых величин, т.е. только векторов тока, при сохранении точности определения места повреждения.

Данное изобретение включает в себя три метода: один для одноцепной линии и два варианта для двухцепной линии.

Технический результат достигается на одноцепной линии электропередачи за счет использования критерия равенства нулю мнимой части переходного сопротивления в месте повреждения, симметричных составляющих; на двухцепной линии электропередачи: при использовании первого метода - за счет использования критерия равенства нулю мнимой части переходного сопротивления в месте повреждения, симметричных составляющих; при использовании второго метода - за счет использования телеграфных уравнений, симметричных составляющих.

Таким образом, предлагаемое изобретение имеет следующие общие признаки с прототипом:

1) использование параметров аварийного и предаварийного режимов;

2) измерение векторов токов как в начале, так и в конце линии;

3) передача и прием с одного конца линии на другой векторных величин токов первой гармоники аварийного режима.

Предлагаемое изобретение имеет следующие отличия от прототипа, что обуславливает соответствие технического решения критерию новизна:

1) отсутствие передачи по каналам связи информации о векторах первой гармоники напряжений в начале и конце линии аварийного режима; достаточно передавать и принимать информацию только о векторных величинах токов первой гармоники противоположного конца линии;

2) отсутствие итерационного процесса; позволяет однозначно определить место повреждения, что исключает возможность прохождения мимо места повреждения в случае выбора неверного шага итерационного процесса и освобождает ресурсы микропроцессорного устройства для иных задач;

3) простота реализации в существующих микропроцессорных устройствах продольной дифференциальной защиты линии; исключается необходимость переделывания модулей каналов связи;

4) учет волновых процессов и компенсация неоднородностей благодаря использованию разности токов параллельных линии (только для второго варианта метода для двухцепной линии);

5) отсутствие измерения векторов напряжений в начале и в конце линии; измеряются по концам линии только вектора токов (только для второго варианта метода для двухцепной линии);

Для одноцепной линии

На Фиг.1 изображена схема замещения одноцепной линии электропередачи с двухсторонним питанием при коротком замыкании (с целью большей наглядности поперечные емкости и неповрежденные фазы не изображены).

Линия, изображенная на Фиг.1, имеет следующие параметры: полная длина l, комплексное сопротивление прямой последовательности $${\underset{\_}{Z}}_{1Л}$$ , обратной последовательности $${\underset{\_}{Z}}_{2Л}$$ и нулевой последовательности $${\underset{\_}{Z}}_{0Л}$$ , емкостные сопротивления равны бесконечности (т.е. емкости равны нулю). Системы А и Б имеют следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{1C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{1C}$$ , обратной последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{2C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{2C}$$ , нулевой последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{0C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{0C}$$ , эквивалентные ЭДС Е' и Е'' соответственно. На линии (Фиг. 1) показано короткое замыкание за переходным сопротивлением R_П на расстоянии l_K. Линия является симметричной, учитывая, что на линиях высокого напряжения для симметрирования линии осуществляют транспозицию фаз.

Для схемы замещения, изображенной на Фиг. 1, по 2-му закону Кирхгофа можно записать:

$$\stackrel{.}{U}\text{'}=\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot {\underset{\_}{Z}}_{Л}+{\stackrel{.}{I}}_{К}{R}_{П},\left(1.1\right)$$

где

$$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}$$ зависят от вида повреждения и определяются по Таблице 1 в соответствии с [Висящев А.Н., Приборы и методы определения места повреждения на линиях электропередачи: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2001, ч. 1 - 188 с.: ил.] и [Ульянов С.А., Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М.-Л.: Энергия, 1964. - 704 с.: ил.];

$$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{Л}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ - удельное продольное сопротивление линии нулевой последовательности;

$$n=\frac{l_{К}}{l}$$ - расстояние до места повреждения от начала линии в относительных единицах;

$${\stackrel{.}{I}}_K=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_K+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_K$$ ,

где

$$\stackrel{\text{'}}{I}{\text{'}}_K$$ - составляющая полного тока короткого замыкания от начала линии;

$$\stackrel{\text{'}}{I}\text{'}{\text{'}}_K$$ - составляющая полного тока короткого замыкания от конца линии.

Таблица 1 Вид КЗ Фаза $$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}$$ $${\stackrel{\text{'}}{I}}_K$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}$$ Однофазное А $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0$$ $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2$$ или $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0$$ В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0$$ $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2\right)$$ или $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_B+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_0$$ С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0$$ $$3a^2\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2\right)$$ или $$3a^2\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C+\stackrel{.}{k}3\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_0$$ Двухфазное А-В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ $$\left(1-a\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_B$$ В-С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C$$ $$\left(a-a^2\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_C$$ А-С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A$$ $$\left(a^2-1\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_A$$ Двухфазное на землю А, В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1-a\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_1-a\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_B$$ В, С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C$$ $$\left(a^2-a\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_1-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_C$$ А, С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A$$ $$\left(a-1\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1-a^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2-a^2\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_A$$ Трехфазное A, B, C $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_1-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_B$$ где а=е-^j120; а²=е-^j240 - поворотные коэффициенты;
$$\stackrel{.}{k}=\frac{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}-{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}$$ - коэффициент компенсации для одноцепной линии;
$${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ и $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ - удельные продольные сопротивления линии прямой и нулевой последовательностей соответственно;
$$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ и $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C$$ - основная гармоника в начале линии фазных напряжений и фазных токов соответственно;
$$\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C$$ - основная гармоника в конце линии фазных напряжений и фазных токов соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_1$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0$$ - токи прямой, обратной, нулевой последовательностей в начале и конце линии соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}$$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце линии (для двухконцевой линии можно считать равными).

Из выражения (1.1):

$$\stackrel{.}{U}\text{'}=\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}+{\stackrel{.}{I}}_K\cdot R_{П}$$ ;

$$I\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}=R_{П}$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=\mathrm{Im}\left(R_{П}\right)$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=0$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)-\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=0$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right).\left(1.2\right)$$

Из выражения (1.2) расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

$$n\text{'}=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}.\left(1.3\right)$$

Расстояние до места повреждения от противоположного конца линии (системы Б) в относительных единицах может быть определено аналогичным образом:

$$n\text{'}\text{'}=\left(1-n\text{'}\right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)},\left(1.4\right)$$

где

$$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}$$ зависят от вида повреждения и определяются по выражениям, приведенным в Таблице 1.

Для двухцепной линии (1-й вариант)

На Фиг.2 изображена схема замещения двухцепной линии электропередачи с двухсторонним питанием при коротком замыкании на первой цепи (с целью большей наглядности поперечные емкости и неповрежденные фазы не изображены).

Линия имеет следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности первой цепи $${\underset{\_}{Z}}_{1Л\_I}$$ и второй цепи $${\underset{\_}{Z}}_{1Л\_II}$$ ; обратной последовательности первой цепи $${\underset{\_}{Z}}_{2Л\_I}$$ и обратной последовательности второй цепи $${\underset{\_}{Z}}_{2Л\_II}$$ ; нулевой последовательности первой цепи $${\underset{\_}{Z}}_{0Л\_I}$$ и второй цепи $${\underset{\_}{Z}}_{0Л\_II}$$ ; емкостные сопротивления равны бесконечности (т.е. емкости равны нулю). Системы А и Б имеют следующие параметры: комплексное сопротивление прямой последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{1C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{1C}$$ , обратной последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{2C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{2C}$$ , нулевой последовательности $$\underset{\_}{Z}{\text{'}}_{0C}$$ и $$\underset{\_}{Z}\text{'}{\text{'}}_{0C}$$ , эквивалентные ЭДС Е' и Е'' соответственно. На линии показано (Фиг.2) короткое замыкание за переходным сопротивлением R_П на расстоянии l_K. Каждая цепь линии является симметричной, учитывая, что на линиях высокого напряжения для симметрирования линии осуществляют транспозицию фаз.

Для схемы замещения, изображенной на Фиг.2, по 2-му закону Кирхгофа можно записать:

$$\stackrel{.}{U}\text{'}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1\cdot n{\underset{\_}{Z}}_{Л\_I}+{\stackrel{.}{I}}_K{R}_{П},\left(1.5\right)$$

где

$$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ и $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1$$ зависят от вида повреждения и определяются по Таблице 2 в соответствии с [Висящев А.Н. Приборы и методы определения места повреждения на линиях электропередачи: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2001, ч.1 - 188 с.: ил.] и [Ульянов С.А., Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М. - Л.: Энергия, 1964. - 704 с.: ил.];

$${\underset{\_}{Z}}_{1Л\_I}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_I}$$ - удельное продольное сопротивление линии;

$$n=\frac{l_K}{l}$$ - расстояние до места повреждения от начала линии в относительных единицах;

$${\stackrel{.}{I}}_K=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_K+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_K$$ ,

где

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_K$$ - составляющая полного тока короткого замыкания от начала первой цепи линии

$$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_K$$ - составляющая полного тока короткого замыкания от конца линии первой цепи

Таблица 2 Вид КЗ Фаза   Для КЗ на I цепи Для КЗ на II цепи   $$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}$$ $${\stackrel{.}{I}}_K$$ $$\stackrel{.}{U\text{'}}\text{'}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}$$ Однофазное А $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}$$ $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}$$ или $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{0II}$$ $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}$$ или $$3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}+3\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}$$ В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{0II}$$ $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}\right)$$ или $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{0II}$$ $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}\right)$$ или $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}\right)$$ С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{0II}$$ $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}\right)$$ или $$3a\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}{\text{'}}_{CI}+{\stackrel{.}{k}}_{I}3\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{01}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}+{\stackrel{.}{k}}_{II}3{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{0II}$$ $$3a^2\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}\right)$$ или $$3a^2\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}\right)$$ Двухфазное
  А-В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{A1}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{B1}$$ $${\stackrel{.}{I\text{'}}}_{AII}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}$$ $$\left(1-a\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{A1}-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{B1}$$ $$\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{AII}-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{BII}$$ $$\left(1-a\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}\right)$$ В-С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{{}_{CII}}$$ $$\left(a-a^2\right)\left({\stackrel{.}{I}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{CI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{{}_{CII}}$$ $$\left(a-a^2\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}\right)$$ А-С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{AI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{AII}$$ $$\left(a^2-1\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{AI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{AII}$$ $$\left(a^2-1\right)\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}+\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}\right)$$ Двухфазное на землю А, В $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{{}_{BII}}$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}-a\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HI}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}-a\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{AI}-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{BI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{BII}$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}-a\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HII}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}-a\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}\right)\right)$$ В, С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{{}_{CII}}$$ $$\left(a^2-a\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}-{\stackrel{.}{I}}_{1HI}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_C$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{CI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{CII}$$ $$\left(a^2-a\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}-{\stackrel{.}{I}}_{1HII}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2III}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}\right)\right)$$ А, С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{AII}$$ $$\left(a-1\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}-a^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}-{\stackrel{.}{I}}_{1HI}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}-a^2\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{AII}$$ $$\left(a-1\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}-a^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}-{\stackrel{.}{I}}_{1HII}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}-a^2\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}\right)\right)$$ Трехфазное А, В, С $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}-{\stackrel{.}{I\text{'}}}_{{}_{BII}}$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HI}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}\right)\right)$$ $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A-\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_B$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}-{\stackrel{.}{I\text{'}\text{'}}}_{BII}$$ $$\left(1-a^2\right)\left(\left(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HII}\right)+\left(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}\right)\right)$$ где а = e^j120; а² = e^j240 - поворотные коэффициенты;
$${\stackrel{.}{k}}_I=\frac{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}-{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}}{{\stackrel{.}{I}}_{0II}}\frac{{\underset{\_}{z}}_M}{3\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}=\frac{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}-{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}+\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}}\frac{{\underset{\_}{z}}_M}{3\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}$$ - коэффициент компенсации для двухцепной линии при повреждении на первой цепи;
$${\stackrel{.}{k}}_{II}=\frac{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}-{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}}{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}}\frac{{\underset{\_}{z}}_M}{3\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}=\frac{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}-{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}+\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}}\frac{{\underset{\_}{z}}_M}{3\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}$$ - коэффициент компенсации для двухцепной линии при повреждении на второй цепи;
$${\underset{\_}{z}}_M$$ - удельное магнитное сопротивление между цепями линии.
$${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ и $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ - удельные продольные сопротивления линии прямой и нулевой последовательностей соответственно;
$$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ и $$\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U\text{'}}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ - основная гармоника фазных напряжений в начале и конце линии соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ - основная гармоника фазных токов в начале и конце первой цепи линии соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}$$ - основная гармоника фазных токов в начале и конце второй цепи линии соответственно; $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}$$ - токи прямой, обратной и нулевой последовательностей в начале и конце первой цепи линии соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}$$ - токи прямой, обратной и нулевой последовательностей в начале и конце второй цепи линии соответственно;
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HI}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}$$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце первой цепи линии (для двухконцевой линии можно считать равными);
$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HII}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}$$ - основная гармоника прямой последовательности тока нагрузки в предаварийном режиме в начале и конце второй цепи линии (для двухконцевой линии можно считать равными).

Из выражения (1.5):

$$\stackrel{.}{U}\text{'}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}+{\stackrel{.}{I}}_K\cdot R_{П}$$ ;

$$\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}=R_{П}$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=\mathrm{Im}\left(R_{П}\right)$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=0$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)-\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=0$$ ;

$$\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot n\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)=\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right).\left(1.6\right)$$

Из выражения (1.6) расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

$$n{\text{'}}_I=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}.\left(1.7\right)$$

Расстояние до места повреждения от противоположного конца линии (системы Б) в относительных единицах может быть определено аналогичным образом:

$$n\text{'}{\text{'}}_I=\left(1-n{\text{'}}_I\right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)},\left(1.8\right)$$

где

$$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I$$ зависят от вида повреждения и определяются по выражениям, приведенным в Таблице 2.

При повреждении на второй цепи линии расстояние до места повреждения от начала линии (системы А) в относительных единицах:

$$n{\text{'}}_{II}=\left(1-n{\text{'}}_I\right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)},\left(1.9\right)$$

При повреждении на второй цепи линии расстояние до места повреждения от противоположного конца линии (системы Б) в относительных единицах:

$$n\text{'}{\text{'}}_{II}=\left(1-n{\text{'}}_{II}\right)=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)},\left(1.10\right)$$

Для двухцепной линии (2-й вариант)

Для нулевой последовательности симметричной двухцепной линии электропередачи, соединенной по концам, могут быть записаны следующие системы дифференциальных уравнений [Чернин А.Б. Вычисление электрических величин и поведение релейной защиты при неполнофазных режимах в электрических системах. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 416с.: ил.]:

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{dx}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I\_0}+{\underset{\_}{z}}_{Л\_}{}_{прод\_0}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_I-II\_0}\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II\_0}\\ -\frac{d\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I\_0}}{dx}={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0+{\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_I-II\_0}\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0\end{array};\left(1.11\right)$$

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{dx}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II\_0}+{\underset{\_}{z}}_{Л\_}{}_{прод\_0}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_II-I\_0}\cdot {\stackrel{.}{I}}_{I\_0}\\ -\frac{d\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II\_0}}{dx}={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0+{\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_I-I\_0}\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0\end{array};\left(1.12\right)$$

где

$${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ - удельное продольное сопротивление нулевой последовательности первой цепи и второй цепи линии;

$${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_I-II\_0}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_II-I\_0}$$ - удельное продольное сопротивление нулевой последовательности между первой и второй цепями линии (сопротивление взаимоиндукции);

$${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}$$ - удельная поперечная проводимость нулевой последовательности первой цепи и второй цепи линии;

$${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_I-II\_0}={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_II-I\_0}$$ - удельная поперечная проводимость нулевой последовательности между первой и второй цепями линии;

$$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0$$ - напряжение нулевой последовательности в начале линии;

$${\stackrel{.}{I\text{'}}}_{I0}$$ и $${\stackrel{.}{I\text{'}}}_{II0}$$ - ток нулевой последовательности в начале первой цепи и второй цепи линии соответственно;

$$\frac{d\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{dx}$$ - первая производная напряжения нулевой последовательности в начале линии;

$$\frac{d\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0}}{dx}$$ и $$\frac{d\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0}}{dx}$$ - первая производная тока нулевой последовательности в начале первой цепи и второй цепи линии соответственно;

dx - бесконечно малая величина линии.

Для вторых производных напряжений и токов для нулевой последовательности симметричной двухцепной линии электропередачи из(1.11) и (1.12) могут быть получены следующие системы уравнений по аналогии с [Чернин А.Б. Вычисление электрических величин и поведение релейной защиты при неполнофазных режимах в электрических системах. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 416 с.: ил.]:

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d^2\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{d{x}^2}={\underset{\_}{{\gamma }^2}}_0\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0-{\underset{\_}{\sigma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0=0\\ -\frac{d^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0}}{d{x}^2}={\underset{\_}{\gamma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0}-{\underset{\_}{\sigma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0}=0\end{array};\left(1.13\right)$$

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d^2\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{d{x}^2}-{\underset{\_}{{\gamma }^2}}_0\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0-{\underset{\_}{\sigma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{U}{\text{'}}_0=0\\ -\frac{d^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0}}{d{x}^2}-{\underset{\_}{\gamma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0}-{\underset{\_}{\sigma }}_0^2\cdot \stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0}=0\end{array};\left(1.14\right)$$

где

$${\underset{\_}{\gamma }}_0^2={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}\cdot {\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}+{\underset{\_}{z}}_{I-II\_Лпопер\_0};\left(1.15\right)$$

$${\underset{\_}{\sigma }}_0^2={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}\cdot {\underset{\_}{y}}_{I-II\_Л\_попер\_0}+{\underset{\_}{z}}_{I-II\_Л\_попер\_0}{\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0};\left(1.16\right)$$

$$\frac{d^2\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0}{d{x}^2}$$ - вторая производная напряжения нулевой последовательности в начале двухцепной линии;

$$\frac{d^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0}}{d{x}^2}$$ - вторая производная тока нулевой последовательности в начале первой цепи линии;

$$\frac{d^2\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0}}{d{x}^2}$$ - вторая производная тока нулевой последовательности в начале второй цепи линии.

Для сокращения записи введем следующие обозначения:

$${\underset{\_}{z}}_I={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0};\left(1.17\right)$$

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_I-II\_0};\left(1.18\right)$$

$${\underset{\_}{y}}_I={\underset{\_}{y}}_{Л{\_}_{попер0}};\left(1.19\right)$$

$${\underset{\_}{y}}_{I-II}={\underset{\_}{y}}_{Л{}_{поперII-I0}};\left(1.20\right)$$

$$\stackrel{.}{U}=\stackrel{.}{U}{\text{'}}_0;\left(1.21\right)$$

$$\stackrel{.}{I_I}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{I0};\left(1.22\right)$$

$$\stackrel{.}{I_{II}}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II0};\left(1.23\right)$$

$$\underset{\_}{\gamma }={\underset{\_}{\gamma }}_0;\left(1.24\right)$$

$$\underset{\_}{\sigma }={\underset{\_}{\sigma }}_0.\left(1.25\right)$$

Тогда системы (1.11) и (1.12) перепишутся:

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d\stackrel{.}{U}}{d{x}^2}={\underset{\_}{z}}_1\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II}\\ -\frac{d{\stackrel{.}{I}}_I}{dx}={\underset{\_}{y}}_I\cdot \stackrel{.}{U}+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\cdot \stackrel{.}{U}\end{array};\left(1.26\right)$$

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}={\underset{\_}{z}}_1\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I\\ -\frac{d{\stackrel{.}{I}}_{II}}{dx}={\underset{\_}{y}}_I\cdot \stackrel{.}{U}+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\cdot \stackrel{.}{U}\end{array},\left(1.27\right)$$

Системы (1.13) и (1.14) перепишутся:

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d^2\stackrel{.}{U}}{d{x}^2}={\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}-{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}=0\\ -\frac{d^2{\stackrel{.}{I}}_I}{d{x}^2}={\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{I_I-}{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{I_{II}=0}\end{array};\left(1.28\right)$$

$$\{\begin{array}{c}-\frac{d^2\stackrel{.}{U}}{d{x}^2}={\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}-{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}=0\\ -\frac{d^2{\stackrel{.}{I}}_{II}}{d{x}^2}={\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{I_{II}-}{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{I_I=0}\end{array}.\left(1.29\right)$$

Из (1.28) и (1.29) определим напряжение:

$$\frac{d^2\stackrel{.}{U}}{d{x}^2}-{\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}-{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{U}=0.\left(1.30\right)$$

Найдем решение уравнения (1.30).

Будем искать частное решение дифференциального уравнения второго порядка в виде:

$$\stackrel{.}{U}=\stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}.\left(1.31\right)$$

Подставим (1.31) в (1.30):

$$\frac{d^2\left(\stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}\right)}{d{x}^2}-{\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \left(\stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}\right)-{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \left(\stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}\right)=0;\left(1.32\right)$$

$$p^2\cdot \stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}-{\underset{\_}{\gamma }}^2\cdot \stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}-{\underset{\_}{\sigma }}^2\cdot \stackrel{.}{A}{e}^{\stackrel{.}{p}x}=0;\left(1.33\right)$$

$$p^2-{\underset{\_}{\gamma }}^2-{\underset{\_}{\sigma }}^2=0;\left(1.34\right)$$

$$p^2={\underset{\_}{\gamma }}^2+{\underset{\_}{\sigma }}^2;\left(1.35\right)$$

$$p_1=\sqrt{{\underset{\_}{\gamma }}^2+{\underset{\_}{\sigma }}^2};\left(1.36\right)$$

$$p_2=\sqrt{{\underset{\_}{\gamma }}^2+{\underset{\_}{\sigma }}^2};\left(1.37\right)$$

$$p_2=-p_1.\left(1.38\right)$$

Подставим в (1.36) и (1.37) выражения (1.15) и (1.16), используя (1.17)-(1.25):

$$\begin{array}{l}{p}_1=\sqrt{{\underset{\_}{\gamma }}^2+{\underset{\_}{\sigma }}^2}=\sqrt{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\underset{\_}{y}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_1\cdot {\underset{\_}{y}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\underset{\_}{y}}_I}=\\ =\sqrt{{\underset{\_}{z}}_I\cdot \left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)=}\sqrt{\left({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\right)\cdot \left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)}\end{array}$$ ;

$$\begin{array}{l}{p}_2=\sqrt{{\underset{\_}{\gamma }}^2+{\underset{\_}{\sigma }}^2}=\sqrt{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\underset{\_}{y}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_1\cdot {\underset{\_}{y}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\underset{\_}{y}}_I}=\\ =\sqrt{{\underset{\_}{z}}_I\cdot \left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)=}\sqrt{\left({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\right)\cdot \left({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II}\right)}\end{array}$$ ;

$$p_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot ({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})};(1.39)$$

$$p_2=-\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot ({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}.(1.40)$$

Общее решение уравнения (1.30) будет иметь следующий вид:

$$\stackrel{.}{U}=C_1\cdot e^{\stackrel{.}{p_{1}x}}+C_2\cdot e^{\stackrel{.}{p_{2}x}}=C_1\cdot e^{\stackrel{.}{p_{1}x}}+C_2\cdot e^{\stackrel{.}{-p_{1}x}}(1.41)$$

Из системы (1.26) и (1.27)

$$-\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}={\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II};(1.42)$$

$$-\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}={\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I;(1.43)$$

$$-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II}={\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx};(1.44)$$

$$-{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_{II}={\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}.(1.45)$$

Разделим (1.44) на (1.45);

$$\frac{{\underset{\_}{z}}_{I-II}}{{\underset{\_}{z}}_I}=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}}{{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d\stackrel{.}{U}}{dx}};(1.46)$$

Подставим (1.41) в (1.46):

$$\frac{{\underset{\_}{z}}_{I-II}}{{\underset{\_}{z}}_I}=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d(C_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x})}{dx}}{{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+\frac{d(C_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x})}{dx}}=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}}{{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}}$$ ;

$$\frac{{\underset{\_}{z}}_{I-II}}{{\underset{\_}{z}}_I}=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}}{{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}}$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}({\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x})={\underset{\_}{z}}_I({\underset{\_}{z}}_I\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x})$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}^2\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}={\underset{\_}{z}}_I^2\cdot {\stackrel{.}{I}}_I+{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}^2\cdot {\stackrel{.}{I}}_I-{\underset{\_}{z}}_I^2\cdot {\stackrel{.}{I}}_I={\underset{\_}{z}}_I\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}$$ ;

$${\stackrel{.}{I}}_I=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{2}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}^2-{\underset{\_}{z}}_I^2)}$$ .

Учитывая, что $${\stackrel{.}{p}}_2=-{\stackrel{.}{p}}_1$$

$$\begin{array}{l}{\stackrel{.}{I}}_I=\frac{{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-{\underset{\_}{z}}_I\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+{\underset{\_}{z}}_{I-II}\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_2\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}^2-{\underset{\_}{z}}_I^2)}=\\ =\frac{({\underset{\_}{z}}_I-{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}-{\underset{\_}{z}}_I)({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}-\frac{({\underset{\_}{z}}_I-{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}-{\underset{\_}{z}}_I)({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}\end{array}$$ .

$${\stackrel{.}{I}}_I=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}.(1.47)$$

По аналогии

$${\stackrel{.}{I}}_{II}=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}.(1.48)$$

Таким образом ток и напряжение в любой точке однофазной линии (а также нулевой или обратной последовательности) могут быть найдены по следующим выражениям:

$$\stackrel{.}{U}=C_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+C_2\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x};(1.49)$$

$${\stackrel{.}{I}}_I=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)};(1.50)$$

$${\stackrel{.}{I}}_{II}=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{({\underset{\_}{z}}_{I-II}+{\underset{\_}{z}}_I)}.(1.51)$$

где

$$p_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot ({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})};(1.52)$$

$$p_1=-\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})\cdot ({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})};(1.53)$$

Определим коэффициенты C₁ и C₂ в (1.49)-(1.51).

Пусть при х=0 напряжение и токи в начале каждой линии $$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}$$ соответственно. Тогда выражения (1.49)-(1.51) примут вид:

$$\stackrel{.}{U}=C_1+C_2;(1.54)$$

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}.(1.55)$$

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}+\frac{C_2\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}.(1.56)$$

Из (1.54):

$$C_2=\stackrel{.}{U}\text{'}-C_1.(1.57)$$

Подставим (1.57) в (1.56):

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}+\frac{(\stackrel{.}{U}-C_1)\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}};$$

$$\begin{array}{l}\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}+\frac{(\stackrel{.}{U}\text{'}-C_1)\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}=-\frac{C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}+\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}=\\ =\frac{-C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1+\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-2\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\end{array}$$

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-2\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})=\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-2\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1$$ ;

$$\stackrel{.}{2\cdot C_1\cdot {\stackrel{.}{p}}_1=}\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})$$ ;

$$C_1=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2\cdot {\stackrel{.}{p}}_I};(1.58)$$

Подставим (1.58) в (1.57):

$$C_2=\stackrel{.}{U}\text{'}-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I};(1.59)$$

Подставим (1.60) и (1.61) в (1.49) и (1.50):

$$C_1=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I};(1.60)$$

$$C_2=\stackrel{.}{U}\text{'}-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}=\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}.(1.61)$$

Подставим (1.60) (1.61) в (1.49) и (1.50)

$$\begin{array}{l}\stackrel{.}{U}=\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\right)\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\right)\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}=\\ =\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}=\\ =\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}=\\ =\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \frac{e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot \frac{e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}}{2}=\stackrel{.}{U}\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x).\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\stackrel{.}{I}=-\frac{1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot (\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\right)\cdot {\stackrel{.}{p}}_1{e}^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\right)\cdot (-{\stackrel{.}{p}}_1)e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x})=\\ =-\frac{{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot (\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\right)\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\left((\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}+\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I})\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}\right)=\\ =-\frac{{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot \left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{-{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}\right)=\\ =-\frac{{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot \left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{2}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}\right)=\\ =-\frac{{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot \left(\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \frac{e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}-e^{-{\stackrel{.}{p}}_{1}x}}{2}-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{2{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot \frac{\stackrel{.}{e^{{\stackrel{.}{p}}_{1}x}+e^{{\stackrel{.}{-p}}_{1}x}}}{2}\right)=\\ =-\frac{{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}\cdot \left(\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)\right)=\\ =\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}{\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x)\end{array}$$

Таким образом выражения для определения токов и напряжений на расстоянии x от начала двухцепной линии через ток и напряжение в начале линии запишутся:

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{U}=U}\text{'}\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{{\stackrel{.}{p}}_I}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.62)$$

$$\stackrel{.}{I}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{p}}_1}{{\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II}}sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.63)$$

где

$$p_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}.(1.64)$$

Подстановка (1.64) в (1.62) и (1.63) дает

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{U}=U}\text{'}\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.65)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{I}=\stackrel{.}{I}}{\text{'}}_I\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x)-\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \sqrt{\frac{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}}sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x).(1.66)$$

Выражения (1.65) и (1.66) можно переписать

$$\stackrel{.}{U}=\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{11}+\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot {\stackrel{.}{A}}_{12};(1.67)$$

$$\stackrel{.}{I}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot {\stackrel{.}{A}}_{21}+\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{22};(1.68)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{12}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.70)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{21}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.71)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{22}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}}sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.72)$$

По аналогии можно получить и вторую систему уравнений:

$$\stackrel{.}{U}=\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{11}+\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{12};(1.73)$$

$$\stackrel{.}{I}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{21}+\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot {\stackrel{.}{A}}_{22};(1.74)$$

где

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{11}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.75)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{12}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.76)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{21}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_{1}x);(1.77)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A_{22}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}}sh({\stackrel{.}{p}}_{1}x).(1.78)$$

Предположим, что на двухцепной линии электропередачи произошло повреждение на расстоянии l_K от начала линии в первой цепи. Тогда напряжения на первой и второй цепи в месте повреждения запишутся, соответственно (согласно (1.67) и (1.68)):

$${\stackrel{.}{U}}_{KI}=\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{11}+\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{12};(1.79)$$

$${\stackrel{.}{I}}_{KI}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{21}+\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{22};(1.80)$$

$${\stackrel{.}{U}}_{KII}=\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{11}+\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{12};(1.81)$$

$${\stackrel{.}{I}}_{KII}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{21}+\stackrel{.}{U}\text{'}\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{22};(1.82)$$

где

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A{\text{'}}_{11}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K);(1.83)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A{\text{'}}_{12}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K);(1.84)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A{\text{'}}_{21}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K);(1.85)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A{\text{'}}_{22}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}}sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K).(1.86)$$

Вычтем (1.81) из (1.79):

Сложим (1.81) и (1.79):

Выражения аналогичные (1.87) и (1.88) могут быть получены через токи и напряжения противоположного конца линии. Обозначив токи первой и второй цепей линии противоположного конца соответственно через $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}$$ и напряжение через $$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ , получим:

$${\stackrel{.}{U}}_{KI}-{\stackrel{.}{U}}_{II}=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot \stackrel{.}{A}\text{'}{\text{'}}_{12}.(1.89)$$

где

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A\text{'}{\text{'}}_{11}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_1(l-l_K));(1.91)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A\text{'}{\text{'}}_{21}}=}ch({\stackrel{.}{p}}_1(l-l_K));(1.93)$$

$$\stackrel{.}{\stackrel{.}{A\text{'}{\text{'}}_{22}}=}-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1(l-l_K));(1.94)$$

(l-l_K) - расстояние до места повреждения от конца линии электропередачи.

Приравняем правые части выражений (1.87) и (1.89):

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot \stackrel{.}{A}{\text{'}}_{12}=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot \stackrel{.}{A}\text{'}{\text{'}}_{12}.(1.95)$$

Подставим (1.84) и (1.92) в (1.95):

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot \left(-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)\right)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot \left(-\sqrt{\frac{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})}{({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}}\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1(l-l_K))\right)$$ ;

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1(l-l_K))$$ ;

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot (sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)ch({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)-ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)(sh({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)).(1.96)$$

Разделим обе части (1.96) на :

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot (sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)-ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K))$$ ;

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)-(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)$$ ;

$$(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})\cdot th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)+(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)$$ ;

$$((\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})+(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l))\cdot th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)$$ ;

$$th({\stackrel{.}{p}}_1{l}_K)=\frac{(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}{(\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II})+(\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II})\cdot ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}$$ ;

;

где

$$\stackrel{.}{s}=\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}},(1.98)$$

$$p_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}.(1.99)$$

Расстояние до места повреждения от конца линии:

$$l-l_K=\frac{1}{{\stackrel{.}{p}}_1}\cdot arcth\left(\frac{sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}{s+ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}\right),(1.100)$$

где

$$s=\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}}{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}},(1.101)$$

$$p_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}.(1.102)$$

Таким образом, расстояние от начала линии до места повреждения в именованных единицах через параметры обратной последовательности:

где

$$p_{1\_2}=\sqrt{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_2}\cdot {\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_2}}$$ ;

$$\stackrel{.}{s}{\text{'}}_2=\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}}$$ .

Расстояние от конца линии до места повреждения в именованных единицах через параметры обратной последовательности:

$$l\text{'}{\text{'}}_K=\frac{1}{{\stackrel{.}{p}}_{1\_2}}\cdot arcth\left(\frac{sh({\stackrel{.}{p}}_{1\_2}l)}{\stackrel{.}{s}\text{'}{\text{'}}_2+ch({\stackrel{.}{p}}_{1\_2}l)}\right),(1.104)$$

где

$$p_{1\_2}=\sqrt{{\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_2}\cdot {\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_2}}$$ ;

$$\stackrel{.}{s}\text{'}{\text{'}}_2=\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{2II}}{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}}$$ .

Расстояние от начала линии до места повреждения в именованных единицах через параметры нулевой последовательности:

где

$$p_{1\_0}=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}+{\underset{\_}{z}}_M)\cdot ({\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}+{\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0\_I-II})}$$ ;

$$\stackrel{.}{s}{\text{'}}_0=\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}}$$ .

Расстояние от конца линии до места повреждения в именованных единицах через параметры нулевой последовательности:

$$l\text{'}{\text{'}}_K=\frac{1}{{\stackrel{.}{p}}_{1\_0}}\cdot arcth\left(\frac{sh({\stackrel{.}{p}}_{1\_0}l)}{\stackrel{.}{s}\text{'}{\text{'}}_0+ch({\stackrel{.}{p}}_{1\_0}l)}\right),(1.106)$$

где

$$p_{1\_0}=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}+{\underset{\_}{z}}_M)\cdot ({\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}+{\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0\_I-II})}$$ ;

$$\stackrel{.}{s}\text{'}{\text{'}}_0=\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}}{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}}$$ .

Способ реализуют следующим образом.

В случае одноцепной линии на стадии выдачи уставок определяют удельные продольные сопротивления прямой и нулевой последовательностей линии ( $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ , $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ ) и задают полную длину линии (l).

Перечисленные величины представляют собой исходные условия и их заносят на стадии наладки в устройство определения места повреждения.

1. В момент, предшествующий короткому замыканию, измеряют и определяют величины прямой последовательности основной гармоники тока нагрузки с одного и второго конца линии ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1H}$$ и $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1H}$$ - для двухконцевой линии равны).

2. В момент короткого замыкания измеряют и определяют первую гармонику фазных токов в начале линии ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C$$ ), фазных токов в конце линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C$$ ), фазных напряжений в начале линии ( $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ ), фазных напряжений в конце линии ( $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ ).

3. Передают по каналам связи фазные токи первой гармоники ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_C$$ ) от начала линии к концу линии и фазные токи первой гармоники от конца линии к началу линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_C$$ ).

4. На каждом из концов линии определяют токи прямой, нулевой и обратной последовательностей начала ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_0$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_1$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_2$$ ) и конца линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_0$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_1$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_2$$ ).

5. На основании полученных величин в предыдущих пунктах и выражений Таблицы 1 на первом конце линии определяют величины $$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}$$ , $${\stackrel{.}{I}}_K$$ , на втором - $$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}$$ , $${\stackrel{.}{I}}_K$$ .

6. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению $$n\text{'}=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$ и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в относительных единицах по выражению $$n\text{'}\text{'}=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}\text{'}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$ .

7. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах по выражению l'_K=n'·l и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах по выражению l''_K=n''·l.

В случае двухцепной линии (при использовании 1-го метода) на стадии выдачи уставок определяют удельные продольные сопротивления прямой и нулевой последовательностей линии первой и второй цепи ( $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ , $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ ), удельное сопротивление нулевой последовательности между первой и второй цепями ( $${\underset{\_}{z}}_M$$ ) и задают полную длину линии (l).

Перечисленные величины представляют собой исходные условия и их заносят на стадии наладки в устройство определения места повреждения.

1. В момент, предшествующий короткому замыканию, замеряют токи нагрузки предаварийного режима в начале линии и конце линии и определяют величины прямой последовательности основной гармоники тока нагрузки с одного и второго конца линии в первой и второй цепи линии ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1HII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1HII}$$ ).

2. В момент короткого замыкания измеряют и определяют первую гармонику фазных токов в начале линии ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ ), фазных токов в конце линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}$$ ), фазных напряжений в начале линии ( $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}{\text{'}}_C$$ ), фазных напряжений в конце линии ( $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_A$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_B$$ , $$\stackrel{.}{U}\text{'}{\text{'}}_C$$ ).

3. Передают по каналам связи фазные токи первой гармоники ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}$$ ) от начала линии к концу линии и фазные токи первой гармоники от конца линии к началу линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}$$ ).

4. На каждом из концов линии определяют токи прямой, нулевой и обратной последовательностей начала ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}$$ ) и конца линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}$$ ).

5. На основании полученных величин в предыдущих пунктах и выражений Таблицы 2 на первом конце поврежденной цепи линии определяют величины $$\stackrel{.}{U}\text{'}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}$$ , $${\stackrel{.}{I}}_K$$ , на втором конце $$\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}$$ $${\stackrel{.}{I}}_K$$ .

6. В случае повреждения на первой цепи линии определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению $$n{\text{'}}_I=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$ и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в относительных единицах по выражению $$n\text{'}{\text{'}}_I=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$ . В случае повреждения на второй цепи линии определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в относительных единицах по выражению $$n{\text{'}}_{II}=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$ и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в относительных единицах по выражению $$n\text{'}{\text{'}}_{II}=\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{U}\text{'}\text{'}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}{\mathrm{Im}\left(\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}\cdot {\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}}{{\stackrel{.}{I}}_K}\right)}$$

7. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах при повреждении на первой цепи по выражению l'_KI=n'_I·l, при повреждении на второй цепи l'_KII=n'_II·l. Определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах при повреждении на первой цепи по выражению l''_KI=n''_I·l, при повреждении на второй цепи l''_KII=n''_II·l.

В случае двухцепной линии (при использовании 2-го метода) на стадии выдачи уставок определяют все удельные поперечные проводимости и продольные сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей линии ( $${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_1}$$ , $${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_2}$$ , $${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}$$ , $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_1}$$ , $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_2}$$ , $${\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ ), удельное сопротивление нулевой последовательности между первой и второй цепями ( $${\underset{\_}{z}}_M$$ ), удельная проводимость нулевой последовательности между первой и второй цепями ( $${\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0\_I-II}$$ ) и задают полную длину линии (l).

1. В момент короткого замыкания измеряют и определяют первую гармонику фазных токов в начале линии ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}$$ ), фазных токов в конце линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}$$ ).

2. Передают по каналам связи фазные токи первой гармоники ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{CII}$$ ) от начала линии к концу линии и фазные токи первой гармоники от конца линии к началу линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CI}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{AII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{BII}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{CII}$$ ).

3. На каждом из концов линии определяют токи прямой, нулевой и обратной последовательностей начала ( $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1I}$$ , , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}$$ $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}$$ ) и конца линии ( $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{1II}$$ , $$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2II}$$ ).

4. Определяют $${\stackrel{.}{p}}_1=\sqrt{({\underset{\_}{z}}_I+{\underset{\_}{z}}_{I-II})({\underset{\_}{y}}_I+{\underset{\_}{y}}_{I-II})}$$ ,

где

при использовании величин нулевой последовательности:

$${\underset{\_}{y}}_I={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0}$$ ;

$${\underset{\_}{y}}_{I-II}={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_0\_I-II}$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_I={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_0}$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}={\underset{\_}{z}}_M$$ ;

при использовании величин обратной последовательности:

$${\underset{\_}{y}}_I={\underset{\_}{y}}_{Л\_попер\_2}$$ ;

$${\underset{\_}{y}}_{I-II}=0$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_I={\underset{\_}{z}}_{Л\_прод\_2}$$ ;

$${\underset{\_}{z}}_{I-II}=0$$ .

5. Определяют для начала линии $$\stackrel{.}{s}\text{'}=\frac{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}}{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{II}}$$ и для конца линии $$\stackrel{.}{s}\text{'}\text{'}=\frac{\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}}{\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I-\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}}$$ ,

где

при использовании величин нулевой последовательности:

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0I}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{0II}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I=\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{0I}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}=\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{0II}$$ ;

при использовании величин обратной последовательности:

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_I=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2I}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{II}=\stackrel{.}{I}{\text{'}}_{2II}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_I=\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{2I}$$ ;

$$\stackrel{.}{I}\text{'}{\text{'}}_{II}=\stackrel{.}{I\text{'}}{\text{'}}_{2II}$$ .

6. Определяют расстояние от начала линии до места повреждения (в начале линии) в именованных единицах по выражению $$l{\text{'}}_K=\frac{1}{{\stackrel{.}{p}}_1}\cdot arcth\left(\frac{sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}{\stackrel{.}{s}\text{'}+ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}\right)$$ и определяют расстояние от конца линии до места повреждения (в конце линии) в именованных единицах по выражению $$l\text{'}{\text{'}}_K=\frac{1}{{\stackrel{.}{p}}_1}\cdot arcth\left(\frac{sh({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}{\stackrel{.}{s}\text{'}\text{'}+ch({\stackrel{.}{p}}_{1}l)}\right)$$ .