ПРИБОР ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ НА ОДНОЗНАЧНЫЕ Советский патент 1927 года по МПК G06C3/00 

Предлагаемый прибор предназначается для применения в случаях, когда требуется иметь таблицу произведений какого-либо числа на любой ряд однозначных чисел; такая потребность чаще всего встречается при умножении, самое общепринятое выполнение которого состоит прежде всего в составлении произведений данного множимого на каждую цыфру множителя.

Основания для устройства прибора поясняются таблицами I (а и б), II, III (а и б), IV (а и б), V и VI.

На фиг. 1 изображен столбик предлагаемого прибора, на фиг. 2 - ящик, в который вставляются гнезда, и на фиг. 3 - видоизменение прибора.

Обоснования устройства прибора состоят в следующем:

1) Количественно-разрядное соответствие множимого и произведения в случае умножения всяких чисел на однозначные числа приемлемо в следующей обобщенной формулировке: предельное количество цыфр произведения, при всяком множимом и однозначном множителе, на одну цыфру больше количества их во множимом. На количественно-разрядном соответствии множимого и произведения основывается первый прием умножения, а именно: прежде, чем приступить к процессу умножения, необходимо количество разрядов данного множимого увеличить на один разряд, присоединив к нему слева нуль, напр.:

2×2; 7×2; 146×8

рассматриваются как

02×2; 07×2; 0146×8.

Цель этого увеличения разрядов множимого - уравнение количества цыфр последнего с предельным количеством их во всяком произведении, возможном от данного множимого при однозначном множителе.

2) Поразрядно-цыфровая преемственность между множимым и произведением, положения которой (применительно к случаям с однозначными множителями) заключаются в следующем:

Происхождение цыфры каждого разряда произведения (преемствующей) зависит: или от цыфры соответствующего разряда множимого (преемственной) и цыфры множителя, или же от того и другого и от стоящей непосредственно справа от данной цыфры множимого его же цыфры одной или в совокупности со всеми или несколькими цыфрами последующих нисходящих разрядов данного множимого.

Основная поразрядно-цыфровая преемственность явствует из основной таблицы умножения, выявляющей названную преемственность, во-первых, относительно цыфр 1-го разряда (выражающих целые числа) и во-вторых, относительно цыфры 2-го рязряда "0" перед каждой цыфрой 1-го разряда, например:

а) 03×2=06,

б) 07×2=14,

в) 08×6=48.

а) цыфре множимого 3, 1-го разряда, при множителе 2, - в 1-м разряде произведения соответствует цыфра 6, и цыфре множимого „0", 2-го разряда, при множителе 2, перед цыфрой того же множимого 1-го разряда "3", умноженной на то-же, - в 1-м разряде произведения соответствует цыфра 0, или, выражая это более кратко:

Зависимость поразрядно-цыфровой преемственности от стоящих справа от преемственной цыфры выражается в том, что соответствующая в таком случае основная преемствующая может изменяться в сторону увеличения до пределов, определяемых основной таблицей умножения по тем интервалам (непрерывно-повторяющегося ряда цыфр: 01234567890123… и т.д.), которые наблюдаются по таблице между преемствующими, стоящими в порядке преемственных при каждом множителе, напр.:

таким образом получаются преемствующие интервальные, напр.: преемственной 3, при множителе 4, соответствуют преемствующие:

Каждая интервальная преемствующая составляет ничто иное как сумму основной преемствующей от данной преемственной и интервальной преемствующей от "0" того же (что и данная преемственная) разряда, при том же множителе и при тех же стоящих справа (что и при данной преемственной) цыфрах, напр.:

Принимая во внимание, что основная преемствующая от "0" будет тоже "0", все же значащие цыфры, преемствующие от "0", будут интервальными от него преемствующими, - определение закономерности последних выявит общее положение о степени влияния стоящих справа от преемственной цыфры цыфр на образование интервальных преемствующих от каждой цыфры, причем определение это, произведенное в отношении 1-го разряда, при условном допущении нисходящих от 1-го разряда разрядов, выражающих десятичные дроби, послужит, в силу аналогии арифметических положений об умножении десятичных дробей и целых чисел, основным для всех разрядов. Ближайшим методом такого определения явится вычисление геометрического отношения при данных:

Предыдущий член - каждая интервальная преемствующая от "0", т.-е. все значащие цыфры, кроме 9, до которой предел интервальных преемствующих от "0" не доходит (099×9=891).

Последующий член - каждый множитель, производящий каждую интервальную от 0 преемствующую, явствующий из основной таблицы умножения.

Графически расположенные члены отношения: в вертикальном ряду предыдущие, в горизонтальном последующие, - дадут следующие знаменатели отношений:

Таблица знаменателей отношений интервальных от 0 преемствующих к производящим их множителям является таблицей первоначальных оснований поразрядно-цыфровой преемственности, показывающих пределы цыфровых комбинаций, присутствие которых справа от всякой преемственной увеличивает происходящую от последней основную преемствующую на определяемую каждым основанием при каждом множителе цыфру. Первоначальные основания, выраженные применительно к 1-му разряду в десятичных дробях, возводятся, при применении их к цыфрам всякого другого разряда, в целые числа соответствующих разрядов. В обобщенном виде, возможном для применения к преемственным любого разряда, основания эти представляются в форме числа с беспредельно повторяющимися цыфрами соответствующих периодов, а при отсутствии последних нулями, например:

Каждый предел в каждом случае, в отношении ли к одному какому-либо множителю, или же ко всем однозначным множителям,- определяется от основания - минимум до основания - максимум. Основание - минимум устанавливается путем отделения (запятой или мысленно) в соответствующем обобщенном основании стольких цыфр, сколько их в данной стоящей от преемственной справа цыфровой комбинации, причем последняя отделенная цыфра: увеличивается на 1 единицу, если в обобщенном основании за этой последней отделенной цыфрой шла значащая цыфра; оставляется без изменения, если за последней отделенной цыфрой шел нуль.

Основание - максимум устанавливается путем уменьшения на 1 единицу основания, - минимума следующего за данным пределом высшего предела, напр., цыфровая комбинации 38531 охватывается пределом по отношению к множителю 3:

Составленная относительно целых чисел полная таблица II содержит последовательно расположенные первоначальные и обобщенные основания пределов поразрядно-цыфровой преемственности с точно выведенными основаниями минимум и максимум, применительно к преемственным до 8-го разряда и показывает, на сколько единиц должна увеличиться каждая преемствующая основная при каждом множителе и каждом пределе цыфровых комбинаций, могущих стоять справа от преемственной. Для точного определения преемствующей от каждой преемственной при любом положении последней достаточно суммировать соответствующие данные основной таблицы I с соответствующими данными полной таблицы II, напр.: от преемственной 4, 5-го разряда, при стоящих от нее справа 6825, при множителе 3 основная преемствующая будет 2, каковую стоящая справа цыфровая комбинация, как входящая в предел 6667-7142, при том же множителе должна увеличить на 2, следовательно:

Путем суммирования данных основной таблицы и полной таблицы оснований составлены полные таблицы поразрядно-цыфровой преемственности для каждой преемственной цыфры при каждом множителе и при основаниях каждого предела могущих стоять справа от преемственной, цыфровых комбинаций; образчики таких таблиц (III, IV, V и VI), примерно, взятые для цыфры 6, даны в главнейших примерных вариантах, а именно:

С точно - указанными основаниями пределов табл. III - при всех 9 однозначных множителях, соответствующее которым количество пределов цыфровых комбинаций будет 28.

Табл. IV - при частичном количестве множителей, в данном случае при первых 5, соответствующее которым количество пределов будет 10.

С обобщенными основаниями пределов при точно указанных основаниях - минимум пределов лишь для преемственных 2, 3 и 4-го разрядов в целях начальной ориентировки при установлении точных пределов дальнейших разрядов.

Табл. V - при всех 9 однозначных множителях (28 пределов).

Табл. VI - при 5 первых однозн. множителях (10 пределов).

Таблицы эти содержат: в верхней части вертикально обозначенные основания пределов, в первой от них горизонтальной графе преемствующие при множителе 1 от данной преемственной, в данном случае 6 (при множителе 1 преемственная при всяком ее положении равна преемствующей), затем идут горизонтальные графы преемствующих в последовательном порядке множителей при каждом; указание оснований пределов, смотря по удобству, может содержаться в нижней части таблиц.

Таблицы поразрядно-цыфровой преемственности для каждой цыфры являются основным элементом предлагаемого прибора.

Прибор, облегчающий пользование таблицами, состоит из столбиков 1 круглого или многогранного сечения (фиг. 1), боковые стороны которых склеиваются таблицами поразрядно-цыфровой преемственности для каждой цыфры; оклеивание может заменяться непосредственным обозначением данных таблицы на боковой стороне столбиков; вверху или внизу столбиков могут обозначаться те цыфры, в пределах которых каждый из них применим. Так как поразрядно-цыфровая преемственность 1-го разряда, в отношении целых чисел, исчерпывается основной таблицей умножения, то для всех цыфр 1-го разряда требуется только 1 столбик, для каждого же дальнейшего разряда, преемственность которых, начиная с 2-го разряда, будет связана с зависимостью от стоящих от преемственных справа цыфровых комбинаций, - потребуется по 1 столбику для каждой цыфры от 0 и до 9 включительно, т.-е. по 10 столбиков на каждый разряд; комплект столбиков, устанавливаемый для 1-го разряда в 1 столбик и для каждого последующего по 10-ти столбиков, дополняется в силу количественно-разрядного соответствия множимого и произведения, еще 1 столбиком для цыфры 0 восходящего разряда за последним высшим разрядом, пределом которого исчерпывается емкость данного прибора; в общем количество столбиков всегда составляет кратное 10-ти плюс 2, напр., если емкость прибора берется до 5-ти разрядов включительно, то количество столбиков должно быть: 1 столбик для цыфр 1-го разряда, 40 столбиков для 2, 3, 4 и 5-го разр., по 10-ти каждого, и 1 столбик для 6-го разряда.

Ящик 2 (фиг. 2) имеет своей передней стороной распределительную доску, на которой обозначаются справа или слева, или с той и другой стороны., удобнее же всего слева, один под другим множители 3 (фиг. 2) и делаются параллельные с вертикальной линией множителей прорезы 4 или 5 или сплошные, немного отступя от низа и от верха или только от низа, или же один под другим, против каждого множителя, в виде окон (решетки) 6. Распределительная доска может быть устроена и из просвечивающего материала: стекла, слюды и т.п., и тогда места решетки, не подлежащие прорезам, заклеиваются или закрашиваются непросвечивающим материалом. Остальные стороны решетки, боковые, задняя и нижняя, дополняют устройство распределительной решетки в виде ящика, который внутри с каждой средины между прорезами разделяется продольными перегородками 7 (фиг. 2), между которыми образуются гнезда 8, предназначаемые для вставления в них счетных столбиков, размер которых сообразуется с размером гнездышек. Ширина прорезов (или просветов) ящика сообразуется с шириной вертикальных граф преемствующих цыфр, помещенных на столбиках; расположение множителей на распределительной доске сообразуется с горизонтальными графами преемствующих, помещенных на столбиках; вышина столбиков устанавливается с таким расчетом, чтобы показания оснований пределов были несколько выше линии первого множителя, прорезы же для преемствующих могут быть ниже обозначения оснований пределов или же обхватывать их, оставляя небольшую верхнюю часть столбика выше ящика для более удобного управления столбиком рукой.

Чтобы каждый столбик плотно прилегал гранью данной графы к краям соответствующего ему прореза и раз поставленный не сдвигался бы самостоятельно, на дне гнездышка прикрепляется несколько острых шипиков, обращенных остриями вверх; столбик 1-го разряда, как общий для всех цыфр этого разряда и в перестановке не нуждающийся, может постоянно находиться в своем первом справа гнездышке. Ящик для столбиков предназначается для хранения их во время бездействия; он представляет из себя обыкновенный четырехугольный ящик, разделенный или только продольными перегородками для каждого разряда столбиков, или же, кроме того, еще и поперечными перегородками, посредством которых могут быть устроены отдельные гнездышки для каждого столбика или группы столбиков, напр., по 2 столбика, по 5 и т.п.

При пользовании прибором множимое принимается увеличенным на цыфру 0 слева; процесс же получения произведений одновременно на все однозначные множители состоит в следующем: из разряда следующего выше предельного разряда данного множимого берется, столбик, предназначенный для 0 и ставится в соответствующее разряду этого нуля гнездышко; затем из каждого разряда берутся столбики, соответствующие цыфрам множимого и ставятся в гнездышки подлежащих разрядов; наконец, столбики 1-го разряда устанавливаются так, чтобы в прорезе или просвете против множителя 1 приходилась цыфра 1-го разряда данного множимого, а каждый поставленный в решетку столбик дальнейших разрядов устанавливается так, чтобы по каждому разрезу (или просвету) приходилась грань столбика, содержащая вверху указание оснований предела, в котором укладывается цыфровая комбинация нисходящих за разрядом данного столбика разрядов множимого, явствующая из ряда множителя 1; по установке на основание предела каждый столбик несколько нажимается сверху вниз для того, чтобы он укрепился на помещенных на дне гнездышек острых шипиках. Столбики могут содержать таблицы с точно-указанными по-поразрядно основаниями пределов и тогда группировка их в ящике будет поразрядная и с обобщенными указаниями оснований пределов, в каковом случае группировка их будет поцыферная; обращение с обобщенными столбиками требует более углубленного постижения сущности оснований пределов.

Примерные способы обращения с прибором:

1) при точно-указанных основаниях, - данное множимое 17:

Из ящика берется столбик 0, 3-го разряда, и опускается в 3-е гнездышко решетки (справа).

Из ящика берется столбик 1, 2-го разряда, и опускается во 2-е гнездышко решетки (справа).

Столбик 1-го разряда устанавливается против множителя 1 на цыфру 7 и закрепляется на шипики нажимом руки сверху вниз.

Столбик 2-го разряда устанавливается так, чтобы в соответствующий ему прорез приходилась его грань, содержащая вертикальную графу цыфр с обозначенным наверху ее основанием-минимум предела 7 - и закрепляется на шипики.

Столбик 3-го разряда устанавливается в прорезе на основании - минимум 17 и закрепляется; умножение закончено и на распределительной доске по горизонтальной линии от каждого множителя идут произведения данного числа на все однозначные числа.

2) при точно-указанных основаниях, данное множимое 442.097.336:

В 1-м справа гнезде столбик 1 разряда устанавливается на цыфру 6 против множителя 1, а опущенные столбики дальнейших разрядов устанавливаются в прорезах на основания следующих пределов:

При содержащихся на столбиках только точных основаниях - минимум предел цыфровой комбинации определяется по этому основанию - минимум и по стоящему рядом с ним справа основанию - минимум, каковое по уменьшению его на 1 единицу будет основанием - максимум для предела, возглавляемого данным основанием - минимум.

3) при обобщенных основаниях данное множимое тоже 442097336.

Столбики берутся из ящика, в котором они распределены не по разрядам, а по цыфрам, и, как и в предыдущем примере, ставятся в соответствующие гнездышки и закрепляются на основания: столбик. 1-го разряда - на цыфру 6,

При некотором навыке можно, имея перед собой в виду множимое, одновременно производить и расстановку столбиков по гнездышкам и установку их по основаниям и закрепление их, например, предыдущий пример с множимым 442097336 выполняется следующим порядком:

В 1 гнезд, столбик 1-го разр. устанавливается на цыфру 6 против множителя 1 и закрепляется на шипики.

Столбики 1 могут быть меньшего диаметра, но удвоенной длины, причем на каждой половине столбика помещается соответствующая таблица.

В видоизменении предлагаемого прибора (фиг. 3) применяются вместо столбиков ленты с наклеенными или изображенными на них таблицами поразрядно-цыфровой преемственности для каждой цыфры с оставленными слева и справа небольшим и пустыми полями 2 (фиг. 3).

Ящик для лент предназначается для хранения их во время бездействия.

Прибор состоит из распределительной доски, лентодержателей и лентоводителей. Распределительная доска устраивается также как и для прибора со столбиками с таким же расположением вертикального ряда множителей 3 (фиг. 3) и с теми же вертикальными прорезами или просветами 4 (фиг. 3). Против каждого прореза или просвета устраиваются лентоводители ввиде прикрепленных к нижнему краю доски или к приделанной к ней подстановке столбиков или планок 5 и 6 (фиг. 3) какой угодно формы. Для примера па фиг. 3 приведен лентоводитель, укрепленный к дну подстановки пружинкой 7. На лентоводитель надевается в данном случае лента так, чтобы она, обхватывая его, выходила бы в прорез какой-либо одной вертикальной графой помещенных на ней цыфр. Для того, чтобы лента не вылезала вверх, могут делаться на верхней стороне лентоводителя в виде планочки или кружка небольшие верхние лентодержатели 8 и 9; кроме того могут быть приделаны боковые лентодержатели, которые прикрепляются или к нижней грани планки лентоводителя 10, или в виде планочек 11, укрепленных к задней стороне доски в продольном направлении.

Примерное применение прибора с лентами:

Данное множимое 17, на лентах содержатся указания обобщенных оснований пределов.

На 3-й справа лентоводитель надевается лента, содержащая таблицу цифры 0 и устанавливается в прорезе на вертикальную графу с основанием 1666666… (соответствующим точно-указанному основанию - минимум для преемственных 3-го разряда - 17).

На 2-й справа лентоводитель надевается лента таблицы I и передвигается на основание 6666666… (точно-указанное основание - минимум для преемствен. 1 разр. - 7).

На 1-й справа лентоводитель надевается лента с таблицей цыфры 7 и устанавливается в прорезе на основание 0000000… (предел комбинаций, соответствующий основным преемствующим); готовая установка данного умножения приведена на фиг. 3.

При таблицах с точно-указанными основаниями берутся ленты не по цыфрам, а по разрядам. В вышеприведенном случае сначала берется из 3-го разр. лента с таблицей 0 и устанавливается на основание предела 17-19, или основания - минимум 17, затем из 2-го разряда берется лента с таблицей цыфры 1 и устанавливается на основание 7 и наконец таблица 1-го разряда, которая устанавливается на цыфру 7, против множителя 1.

1. Прибор для умножения многозначных чисел на однозначные, характеризующийся применением столбиков 1 круглого или многогранного сечения с помещенными на них специальными таблицами для каждого разряда чисел и с обозначением вверху или внизу тех цыфр, в пределах которых он применим, каковые столбики предназначены для вставления в гнезда 8 ящика 2 с поперечными перегородками 7 и с передней доской, снабженной расположенными сбоку один под другим множителями 3 и прорезами 4 или 5 или окнами 6.

2. При охарактеризованном в п. 1 приборе применение столбиков 1 меньшего диаметра, но удвоенной длины с помещением на каждой половине столбика половины соответствующей таблицы.

3. Видоизменение охарактеризованного в п. 1 прибора, отличающееся тем, что вместо столбиков применены ленты 1 с нанесенными на них соответствующими таблицами, каковые ленты предназначены для вставления между прорезами 4 доски, снабженной расположенными сбоку один под другим множителями 3.