Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей Советский патент 1924 года по МПК G01B3/02 

Предлагаемый прибор предназначается, главным образом, для педагогических и научных лабораторий и для исследований различных типов профилей и имеет целью механическое определение моментов инерции плоской фигуры при переходе от одних центральных координатных осей по фигуре к другим осям, поворотным относительно первоначальных на некоторый угол, а также определение положения главных осей инерции и величину главных моментов инерции.

На фиг, 1 изображен прибор для преобразования моментов инерции к любым осям, на фиг. 2-прибор для определения главных моментов инерции и на фиг. 3-8 пояснения отсчета.

Поворачивая координатные оси так, чтобы центральный момент относительно них обратился в нуль, получаются на приборе отсчеты, дающие угол поворота главных осей инерции и величины главных моментов инерции. Чтобы воспользоваться прибором, необходимо знать моменты инерции и центробежный момент относительно начальных осей. Вместо центробежного момента может быть задан момент инерции относительно оси, составляющий с начальными осями угол в 45°. Начальные моменты могут быть получены аналитически, графически или же определены механически с помощью интеграторов известных систем (Амслер Коради и др.).

Формулы преобразования моментов инерции и центробежного момента следующие (фиг. 3):

, /.г--/г /V -/V

л 2 - 4- -2 cos2a -

- Рд-г sin 2а... (1)

/.x-;-/v /.V -/V 73.,-- 2- ---COS20C-.

Рху sin 27.... (2) P.vjji sin 2a-i-f P.vv cos 2a...(31

Складывая и вычитая (1) и (2) и деля результат на два, получается:

/.Vi U/Vi/. „

., - --, -- Const (Р)

/v, --./34 Av

cos 27. 2 2

- Pyv sin 2з...(21

Уравнение (3) сохраняется без изменения

.,,/V -/у . „ ,

-- - 2 - sin 2c -i-j- Рху cos 2я,...(3)

Уравнение (i) и (3) можно рассматривать как формулы преобразования координат при повороте осей на угол 2а, причем абсциссами точки b старой и новой координатной системы будут центробежные моменты Рху и , а ординатами полуразности моментов инерции

1х/)Ix /),

----ит- - . Координатные

оси, к которым относится это нреобразование, обозначены через и и -v (фиг. 4).

Формулы преобразования:

cos 2tx-j t sin 2к . . . (4)

27j jy cos 2y. - H sin 2a . . . (5)

Из сравнения (2) с (5) и (3) с (4) находят

// - Рх у, « :: P.VJ i,

/г - /V

/V, - /V,

- ,

2

Отсюда получается правило для иоD | -/i

слоения величин -/ slji и о

„/V - /)

если /Ivy иизвестны.j

Для этого надо в некоторой прямо- j угольной координатной системе опре- делить точку с координатами

р /V-/VI

P.ViVi и ----I

и затем повернуть оси на угол 2а. Ко- :

ординаты той же точки в повернутой I системе будут искомыми величинамгг j

fXi -

.,. точка названа буквою Т.

/.ij - /)i

Построение величинP.Vjji и

показано на фиг. 5. Имея на фиг. 5 полуразность искомых моментов инерции /л1 и /)|, определить каждый из них в отдельности, так как

/.V, :-/v,

полусумма их известна - - -,------.--- const. Откладывая полусумму их по оси Vf в одну и в другую сторону от начала координата, но..гучаются отрезки и Sj (фиг. 5).

Точка С и D при вращении осей L Oj /-, опишет окружность радиуса

/V : /г

„ с центро.г в начале координат Oj (фиг. 6).

Когда круг построен для определения величин Lv,fyi и для любых осей надо только опустить перпендикуляр из точки Т на ось О V.

Длина этого перпендикуляра дает центробежный момент , а отрезки, на которые основание перпендикуляра разделит диаметр круга, совпадающий с осью О Fi, определяет моменты инерции /i-j и /Il, при чем мо.мент /.Vj отложится от основания перпендикуляра 5j в отрицательном направлении оси О Fj, а момент положительном направлении ее. Знак центробежного момента и нолуразности .моментов инерции определяется по направлению координатных осей.

Для определения величины главных моментов инерцни и положения таковых осей инерции Хд О- Yg, для которых Рлу :;г; О, следует провести диаметр круга через точку Т и принять его за ось GI KQ. Точка Т поделит этот диаме1р на отрезки, определяющие величину главных моментов инерции, при чем отрезок, который отложится в положительном направлении оси Oj /-у, определит момент 1уо, а другой отрезок момент f.vo.

Угол поворота осей UQ 0 /-о относительно осей ff О Г оудет равен двойному углу поворота главных осей на фигуре xY() О YQ по отнон ени10 к начальны. осям X О Y. Геометрическое построение главных моментов инерции показано на фиг. 7. Изложенный способ графического представления изменений моментов инерции в несколько ином виде был предложен проф. Mo/iro.i.

Предлагаемый прибор выполняет механически изложенное графическое построение.

Устройство прибора может быть или проще или сложнее, в зависимости от требований. На фиг. 1 представлен вариант устройства прибора, приспособленного к преобразованию моментов к любым осям. Эту схему можно упростить, если назначить прибор исключительно для определения главных моментов инерции. Такое устройство показано на эскизной фиг. 2. В том и другом случае возможно упрощение или усложнение в зависимости от степени точности, которую желают получить от прибора.

Устройство прибора, представленное на фиг. 1, состоит в следующем:

В железной цилиндрической коробке В укреплен вращающийся медный диск 4. На верхнем краю цилиндра В укреплен лимб С, на котором нанесена щкала с делениями в 2°, причем цифры шкалы поставлены так, что два градуса принимаются за один, т. е. отсчет по щкале дает половину угла поворота диска.

На краю диска нанесен верпьер с делениями 6 на j основной шкалы, т. е. деление верпьера определяет /о. На диске Л прочерчены центральные прямоугольные оси FH круг (Z)20 см.), отделяющий внешнее кольцо, на котором расположены верпьеры от внутренней рабочей части плоскости диска. Диаметры круга, совпадающие с осями U н У, разделены на 100 частей.

Через деления проведены перпендикулярные пря.мые, покрывающие всю внутреннюю площадь диска сетью квадратов (при диаметре круга 200 м.м. каждый квадрат будет размером 2 X 2 м. м.).

Около каждой прямой, соответствующей делению диаметра, кратному /, ставятся цифры (о, J,-, 10, Ij- и т. д.),

причем цифра повторяется вдоль прямой через каждые пять делений, отсекаемых на ней перпендикулярными прямыми, т. е. через каждые пять квадратиков. Нумерация прямых, перпендикулярных оси К ведется от нуля у sepXHeiO конца диаметра и до ста у нижнего конца. Нумерации прямых, перпендикулярных оси и, ведется от нуля у ценгра в обе сторны до )0 у концов диаметра.

Для того чтобы глаз мог легче ориентироваться в ну.мерации на круге изготовляющегося прибора, цифры вдоль оси Г пишутся черной краской (на фиг. 1 чертежа черные, горизонтальные) цифры, идущие в положительную сторону оси и красной (на фиг. 1 чертежа черные.

вертикальные), а в отрицательную сторону синей (на фиг. 1 чертежа тоже, черные вертикальные) краской.

Все цифры ставятся по одну (правую) сторону от линии, к которой они относятся.

Зная моменты инерции /v и относительно некоторых перпендикулярных осей н центробежный момент P.vy для тех же осей, можно по сумме моментов инерции )., приравнивая ее диаметру, т. е. 100, определить масщтаб и найти на круге точку Т по величине /.V и P.vy, как это показано на фиг. S. Если теперь, остявляя точку Т неподвижной, повернуть диск с координатной сеткой и прочесть новые отсчеты в точке Т, то получится момент инерции /Il и центробежный момент в новой координатной системе, угол поворота которой покажет шкала лимба. Момент инерции 7л будет найден, как дополнение величины момента /i-j до foo. Таким образом, вращая днск, можно перейти к любым новым осям.

Для определения главных осей инерции и главных моментов инерцнп надо повернуть координатную сетку так, чтобы ось У прошла через точк} J Тогда отсчет по лимбу даст угол поворота главных осей, а отсчеты по сетке круга в точке 7 дадут по оси {/центробежный момент P.Vgj)-Q() и по оси /- главный момент инерции /г,-,. Другой главный момент инерции /х, найдется по фор.муле /.V(| -;: 100-/VQ. Для определения точки Т и для производства в ней отсчетов после поворота диска служит стеклышко D с двумя пересекающимися нарезками. Стеклышко передвигается по направляющим Е, которые в свою очередь двигаются по брускам F и G. Для уменьшения параллакса глаза .между стеклом и плоскостью диска оставляется лишь неболыпой зазор. Вращение диска производится с помощью рукоятки Ас конической зубчатой передачей. L.

Вследствие аналогии между формула.ми преобразования для моментов инерции и формулами преобразования для напряжений при плоском напряженном состоянии, кругом инерции можно пользоваться для изучения изменений напряжений в некоторой точке при главных

напряжениях одного знака. В случае главных напряжений разных знаков точка Т выйдет за пределы круга и потому, для применения прибора к изучению этого случая напряженного состояния, пришлись бы устроить еще внен1нюю координатную сетку.

Из побочных применений круга инерции (представленного на фиг. 1) можно указать следующее: определение синусов и косинусов углов (с точностью до единицы в третьем знаке); решение некоторых случаев прямоугольных и косоугольных треугольников; преобразование прямоугольных координат точки при повороте оси.

На практике приходится преимущественно определять главные моменты инерции. Поэтому дан другой вариант устройства прибора, при котором он приспособлен исключительно для этой цели. Этот вариант прибора представлен на фиг. 2. Вращающийся диск здесь заменен вращающейся линейкой. Вместо координатной сетки имеется одна щкала, соответствующая диаметрз круга V. В отличие от 1-го варианта ось F здесь расположена горизонтально. Определение положения точки Т делается с помощью отдельных неподвижных шкал, нанесенных на брусках, по которым движутся салазки и визирное стеклышко.

Центробежныймомент относительно начальной координатной системы определяется по шкалам М и N момент инерции 1у по шкале О. Шкала О не обязательна, так как вместо нее можно пользоваться шкалой на подвижной линейке, когда она занимает нулевое полох ение. Когда точка Т определена, надо повернуть линейку так, как чтобы линия шкалы подошла в точку /, т. е. под пересечение нарезок на стекле и тогда отсчетом по будет определен главный момент инерции /Уо 3 разность 100-/)о даст другой главный момент инерци /.VQ. Угол поворота главных координатных осей относительно начальных определяется отсчетом по лимбу, который устраивается одинаково как в одном, так и в другом варианте прибора.

Приспособление для вращения шкалы здесь проще, чем в 1-ом варианте. Вместо рукоятки с зубчатой передачей устроены небольшие ручки Р R у самой линейки и на случай, когда они могут быть загорожены брусками, по которым движется визирное стекло, такие же ручки устроены на концах особых рычажков S и jQ. Такое приспособление для вращения линейки хуже и потому и случае, когда желательно получить от прибора большую точность показаний, лучше применить зубчатую или червячную передачу, или же наводящие винты, подобно тому как это делается в топографических угломерных приборах.

I) Р Н Д М Е т ПАТЕНТА.

1.Прибор дла определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей, характеризующийся тем, что он состоит из поворотного при посредстве передачи К L диска А несущего на своей поверхности координатную сетку, снабженную нониусами, и окруженного разделенными на равные части лимбом С, лежащим на пилиндридрической коробке В, окруженной деревянным прямоугольной формы ящиком, несущим бруски F и G, по которым движутся направляющие ползуна, снабженного стеклом D с нанесенными на нем двумя взаимно - перпендикулярными линиями (фиг. 1).

2.Видоизменение, охарактеризованного в п. 1 прибора, отличиющееся: а) заменой поворотного диска А поворотной же линей1сой А с делениями, снабженной ручками Р и / и рычажками О и 5, и б) снабжением как брусков F и f, так и направляющих -ZT делениями (фиг. 2).

ff патенту Ю.ЯГИ mk7Q

Фиг.1