Устройство для моделирования уравнения лапласа для бесконечных областей Советский патент 1980 года по МПК G06G7/46 

Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике. Известны устройства для моделирования уравнений Лапласа в бесконечно протяженных областях, содержащие постоянные или переменные резисторы: периферийные зоны моделей ЭМ-7, ЭМ-8 ЭП-41. В этих моделях для аппроксима ции бесконечной области применяются R-сетки, содержащие большое, но конечное число элементов щ. Недостатком этих моделей является то, что остается погрешность аппроксимации, так как число элементов модели конечно. Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является устройство для моделирования уравнения Лапласа в .бесконечно протяженных областях. В этом устройстве моделью основной области служат известные ти пы моделируюших устройств - электролитические ванны, сеточные электроинтеграторы и т.д., а периферийные области моделируются реостатной сеткой, набранной из постоянных или переменных резисторов со стоками на бе конечность. Реостатная сетка имеет число измерений на единицу меньше, чем в основной области 3Однако это устройство не позволяет проводить измерения по периферии, а так как аппроксимация производится довольно грубо, решение обладает значительной погрешностью. Цель изобретения - повышение точности решения. Указанная цель достигается тем, что в устройство, содержащее R-сетку, дополнительно введены масштабные резисторы и N суммирующих операционных -усилителей, входы которых через соответствующие масштабные резисторы соединены с внутренними узловыми точкаМи R-сетки, а выходы суммирующих операционных усилителей подключены к соответствующим граничным узловым точкам R-сетки. . На фиг. 1 схематически поясняется принцип предлагаемого изобретения , на фиг. 2 представлено устройство для моделирования уравнения Лапласа. Пусть в бесконечной области S требуется решить уравнение Лапласа Np О,(1) причем граничные условия для этого уравнения заданы на бесконечности. Искомое решение требуется определить в некотор-ой конечной области SQ . Эту , .f.-««, .™-- ™-- «. .-. .-4-- - . . --. - -, .- . ,-, -. , . . . - -. область МОЖНО окружить; контуром Ц . Известно, что для контура L можно записать интегральное уравнение (Pj)- JGi(Pi ,P)-JOi{PL-ol& +4(P.j ),( ot.,. где М (Pi. ) функция, являющаяся решением интегральног уравнения (потенциал двойного слоя) , 6(Р: ,Pj) - ядро интегрального уравнения, известная функция координат Р и Р4 ; Р; и Р1 - точки, принадлежащие контуру Ц ; |1 (Pi) - функция, являющаяся .решением уравнения По функции jm(P ) может быть найде но решение в любой точке Ру/ , лежащей снаГ уЖй 6 контура L . по формуле vpi(P). ji G.i(Pi,-.Р) d«,M (PI. (3) где G«(PL;Pi) - известная функция от координат точек PJ и Pj/ . Заменяя интегралы, входящие в фор мулы (2) и (3), конечными суммами, можно получить формулы HnT.-l CViVM t) , j. 1.2,3,. . .п (2а) (.( . . k 1,2,3...N (За) где М (РЛ сеточная функция потенциала двойного слоя; (Pj) дискретная сеточная функция,являющаяся приближенным решение уравнения (1 ) ; G (Р- ;Pi ).- матрица, вычисляемая по функции; Gn((i Рц. ) -матрица, вычисляемая по функции; ri - число точек на конту ре L-, ; N - число точек на конту ре Lj , внешнем по от ношению к L . - V. Из уравнений (2а) и (За) можно ис .ключить вспомогательную функцию j4(P и записать уравнение (4) (vL,i|4() (4/ k 1 ,2,3, . ..N, где Ga(Pj ;Ру ) -известная функция, матрица которой вычи :ляется по матрицам функций G(P ;Р.; ) и 0(Р;;Р). Дсли область Se, ограничейную кон TypSJ TL,разбить сеткой, дой внутренней узловой точки этой се ки, включая точки контура L-t, записывается соответствующая система разностных уравнений .i-A..j;p1p.) ) .0, (5) де А - коэффициенты, определяемые по геометрии сетки. Системы .уравнений (4) и (5) однозначно определяют искомое решение уравнения (2). Система уравнений (5) моделируется на обычной резистивной сетке. Система уравнений (4) моделируется на суммирующих операционных усилителях. Устройстводля моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей содержит основное решающее устройство - резистйвную сетку 1, с граничными узловыми точками 2 и внутренними узловыми точками 3, масштабные резисторы 4 и суммирующий операционный усилитель 5. Входы суммирующего операционного усилителя 5 .через масштабные резисторы 4, рассчитанные в соответствии с матрицей С., присоединяются к внутренним узловым точкам 3 резистивной сетки 1, граничащим с граничными узловыми точками 2, а выход усилителя 5 присоединяется к соответствующей граничной узловой точке 2 резистивной сетки. Предлагаемое устройство работает следующим образом. На основном решающем устройстве - резистивной сетке 1, набирается поле, моделирующее систему уравнений (5). Внутренние узловые точки 3 резистивной сетки через масштабные резисторы 4 подсоединяются ко входам суммирующих операционных усилителей 5. Число работающих операционных усилителей должно равняться числу граничных узловых точек резистивной сетки, т.е. равняется N. Выход каждого суммирующего операционного усилителя 5 присоединяется к своей граничной узловой точке 2 резистивной сетки. Напряжение на выходе КаждбТО суммирующего операционного усилители устанавливается пропорциональным сумме произведений входных напряжений на соответствующие проводимости масштабных резисторов 4. За счет обратной связи, осуществляемой приеоединеййем выходов операционных усилителей к граничным точкам сетки, напряжения Tia выходах операционных усилителей устанавливаются в сортветствййс Уравнением (4), т.е. вся система еУШ йрУйЩих операционных усилителей моделирует уравнение (4). Уравнение (4), эквивалентное уравнение (2) и (3), учитывает граничные УСЛОВИЯ, Зс1данные на бесконечности, и тем саквьом аппроксимирует нёпосредствённб эти граничные условия.