СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК С НАИМЕНЬШЕЙ СУММОЙРАССТОЯНИЙ Советский патент 1971 года по МПК C09B23/02 

Изобретение относится к способу определения расстояний на картах и планах, а также к учебным пособиям по математике. Оно также может быть применено в прикидочных экономических расчетах, связанных с задачами выбора мест своза и вывоза различных грузов.

Всякий пункт своза (или вывоза) грузов должен быть расположен по отношению к источникам сырья (или по отношению к потребителям), так, чтобы сумма транспортных расходов по перевозке грузов была минимальной.

Примерами такого рода проблем могут быть вопросы выбора мест железнодорожных станций и пристаней, элеваторов, баз снабжения, прокладки ветвей трубопроводов, кабельных и воздушных линий электропередач.

Подобные же проблемы суш;ествуют и в горном деле, когда шахты или карьеры являются фиксированными пунктами.

Предлагаемый способ нахождения точек с наименьшей суммой расстояний, умноженных на произвольные рациональные положительные коэффициенты рг от п заданных точек, обеспечивает точность решения задач и заключается в следуюшем. В местах расположения заданных точек устанавливают п опорных элементов, производят разнесение гибкого элемента, например нити, по длине заведомо

большей наименьшей суммы расстояний посредством многократных огибаний ею последовательно каждого из опорных элементов и элемента, несуш,его указатель, в соответствии с целочисленным соотношением кратностей всех коэффициентов pi. С опорного элемента, если частное разнесение нити закончилось на нем, нить подают на последуюший для дальнейшего ее разнесения при закрепленном

одном из концов нити на опорном эле.менте или указателе. За свободный конец нити производят ее обтягивание через опорный элемент или указатель до определенного положения, при котором указателем отмечаю г

искомую точку.

На фиг. 1 изображена схема нахождения точки минимума для суммы расстояний вида 4г1-|-Зг2+r3-fr4, при этом обтягивание нити

производится через указатель; на фиг. 2 показано нахождение точки минимума для суммы расстояний вида 7г1-|-Зг2+4гз + 4+5, обтягивание нити производят через опору; на фиг. 3 - нахождение и замер координат точки

мини.мума в пространстве для суммы расстояний вида Г + Зг2-}-Гз- -г ; на фиг. 4--нахождение пункта своза при транспорте грузов по непрямолинейным разветвляющимся путям для суммы расстояний вида ri-f 2г2+2гз+Г4+

Способ нахождения точек с наименьшей суммой расстояний на плоскости заключается в следующем.

Заданы взаиморасположение фиксированных точек (задаваемое, нанример, через расстояния между ними) и выражение суммы

расстояний Spin, где pi могут быть, например,

i l

количествами грузов, перевозимых между из п пунктов и искомой точкой, а г, соответствующие расстояния.

На плоскости чертежа в местах расположения фиксированных точек устанавливают опорные элементы 1 (fi, /2, /з, А)- Построение проводиться на карте или схеме расстояний.

Гибкий элемент, например нить 2, длина которой заведомо больше наименьшей суммы расстояний, разносят между опорными элементами / и указателем 5. Разнесение нити имитирует заданное свойство расстояний. При этом разнесение нити между опорами производят в соответствии с наименьшим целочисленным соотношением кратностей коэффициентов рг.

в дальнейшем изложении приняты рг делочисленные величины, не имеющие целочисленных общих множителей, помимо единицы. Нить, закрепленную, например, на первом из опорных элементов /ь подают па указатель, огибают его и снова ведут на этот же опорный элемент, затем опять на указатель, снова на опорный элемент и так далее до тех пор, пока последняя ветвь нити не будет подведена к указателю (pi - нечетное) или к своему опорному элементу fi (pi-четное). Для нити, закрепляемой на указателе, четная величина pi будет соответствовать окончанию разнесения на нем, а нечетная - окончанию разнесения на опоре /i. По окончании частного разнесения на указателе нить подают на второй опорный элемент /г для последующего разнесения между ним и указателем в соответствии со значением pz- Если первое из частных разнесений нити было закончено на опорном элементе /j, нить подают непосредственно на опорный элемент f2, с него на указатель и т. д. Таким образом нить последовательно и поочередно разносится между указателем и каждым из опорных элементов .

Один из концов нити должен быть закреплен. При четной сумме всех коэффициентов pi и закреплении конца нити на одном из опорных элементов, разнесение заканчивают подведением незакрепляемого конца к последнему опорному элементу. При закреплении конца нити на указателе заканчивается и разнесение нити.

Если же сумма всех коэффициентов рг - число нечетное, то при закреплении одного из концов нити на опорном элементе, незакрепляемый конец подводится к указателю, и наоборот, при закреплении конца на указателе, свободный конец подается на опорный элемент.

Далее за свободный конец нити через указатель или через опорный элемент производят обтягивание всего разнесения до предельного положения нити. Острие указателя при предельно стянутом положении нити отмечает положение точки минимума.

Нахождение точки минимума для суммы расстояний вида 4г14-Зг2+Лз+Г4 разнесение нити 2 производят следующим образом (см.

фиг. 1): опорный элемент 1 fi - указатель 3 - опорный элемент 1 fi - указатель - опорный элемент 1 fi - опорный элемент 7/2 - указатель - опорный элемент 1 fz - указатель - опорный элемент / /з - опорный элемент У/4--указатель.

За свободный конец производят обтягивание нити через указатель.

Огибающие пары опор участки нити fifz и /3/4 в имитации заданного свойства расстояний

не участвуют, а служат связывающими звеньями для частных разнесений нити между каждой из онор и указателем.

Если при обтягивании на пути перемещения питей оказывается одна из опор, то соответствующие ветви нити перебрасываются через нее сверху, после чего обтягивание продолжают.

На фиг. 2 показано нахождение точки минимума для суммы расстояний вида 7/1-|-Зг2+

-Н4Гз + 4+Г5.

В этом случае разнесение нити производят следующим образом: опора / /i - указатель - 3 - опора / fi - указатель - опора

1 /1 - указатель - опора 1 fi - указатель - опора / /2 - указатель - опора / /2 - опора i fa - указатель-опора / /з - указатель - опора 1 /3 - опора / /4 - указатель - опора / /5.

Нахождение пространственных точек наименьших расстояний отличается от описанного тем, что опорные элементы располагают не на плоскости, а в пространстве. Это выполняют, например, с использованием стержневой

конструкции (см. фиг. 3), в сочленениях стержней 4 которой, имитирующих заданные точки, сделаны отверстия 5.

Опорными элементами для огибающих участков нити будут при этом стенки отверстий в сочленениях. Огибаемый нитью элемент, несущий указатель 6, для пространственного случая целесообразно выполнять в виде тора 7, через который свободно проходят шлаги разносимой нити. Последовательность

действия при нахождении точек минимума в пространстве та же.

Для замера координат искомой точки имитирующую взаиморасположение заданных точек стержневую конструкцию устанавливают

на опорной плоскости, имеющей нанесенные на нее координатные оси X-X и Y-У. Указатель 6 имеет отверстие 8 для маркированной нити отвеса 9. При предельном положении стянутой нити 2 через отверстие 8 опускают

Острием отвеса отмечают на опорной плоскости абсциссу XQ и ординату YQ точки минимума, а по длине нити отвеса определяют ее аппликату ZQ. Тор 7 желательно иметь наименьшей величины, а отверстие 8 должно совпадать с его центром.

На фиг. 3 показано нахождение точки минимума для суммы расстояний вида ri + SraH+ ГЗ+Г4.

В этом случае разнесение нити производят Б следующей последовательности: отверстие 5 fi - тор 7 - отверстие 5/2 - тор - отверстие 5/2 - отверстие 5 /з - тор - отверстие 5 /4.

Предлагаемый способ позволяет находить точки .минимума суммы расстояний для системы непрямолинейных разветвляющихся путей (см. фиг. 4). Для этого участки нити 2, огибающие в соответствии с коэффициентами рг последовательно каждую из опор / и указатель 3, должны быть разнесены по соответствующим направляющим, имитирующим эти пути своей конфигурации. В качестве таких криволинейных направляющих используют трубки 10 из легко изгибаемого материала, например красномедные, разрезанные вдоль. Трубки изгибают требуемым образом и закрепляют на плоскости (или поверхности), например, винтами Л. Последовательность действий при нахождении точек минимума та же.

Если непрямолинейные пути представляют собой ломаные линии с прямолинейными звеньями, в качестве направляющих элементов целесообразно использовать дополнительные стойки 12, помещаемые в вершинах ломаных линий.

На фиг. 4 показано нахождение точки наименьшей суммы расстояний вида Г1 + 2г2+ +2гз+г, + Г5+г,.

При определенном виде суммы расстояний и взаиморасположении заданных точек минимальной является не отдельная точка, а некоторый средний участок пути. Нахождение таких участков с наименьшей суммой расстояний ничем не отличается от нахождения точек наименьших расстояний.

Предмет изобретения

Способ нахождения точек с наименьшей

суммой расстояний, умноженных на произвольные рациональные положительные коэффициенты pi от п заданных точек, отличающийся тем, что, с целью повышения точности, в местах расположения заданных точек устанавливают п опорных элементов, производят разнесение одного гибкого элемента, например нити, по длине заведомо большей наименьшей суммы расстояний, посредством многократных огибаний ею последовательно

каждого из опорных эле.ментов и элемента, несущего указатель, в соответствии с целочисленным соотношением кратностей всех коэффициентов pi, причем с опорного элемента, если частное разнесение нити закончилось на нем, нить подают на последуюший для дальнейшего ее разнесения при закрепленном одним из концов нити на опорном элементе или указателе, за свободный конец нити производят ее обтягивание через опорный элемент или указатель до предельного положения, при котором указателем отмечают искомую точку.