Аналоговое устройство для реше-Ния диффЕРЕНциАльНыХ уРАВНЕНий Советский патент 1981 года по МПК G06G7/44 

Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике и может применяться для решения уравнений математической физики. Известны устройства для решения дифференциальных уравнений математи ческой физики, использующие конечно-разностную аппроксимацию исходны уравнений, в частности по схеме. Например, одномерное уравнение теплопроводностиQuc.ti - о/, .-fc) Э-ь Эх при t Q решается как система конечно-разностных уравнений, в которых неизвестное U, ,1с+1 выргока ется через U , k, Up,k „+1, ,.,,,,-2U«,, где и - температура; Jnлy, - соответствует (if Дх - шаг по координатё; ot - коэффициент теплопровод ности; - шаг по времени; (1) п - номер шагапо координате; к - номер шагапо времени; п 0,1 ... N,0,N - граничные точки. Исходя из законов Кирхгофа и Ома выбирается решающий элемент, моделирующий уравнение (2).. Значения входных и выходных потенциалов (-i k n,k Vi,k n,kvl решающего Элемента, пропорциональны величинам температур Uvi.k , , Un и Un(4. в соответствующих точках исследуемой области. Последовательно подавая на входы решающего элемента потенциалы У„.о , и , соответствующие значениям начального распределения температуры, в трех соседних точках, получают.значения потенциалов Vf , эквивалентные распределению температуры на временном шаге 1- t . Используя вновь полученное распределение Un,,i , как начальное, получают последующее распределение температуры на временном шаге 2i,t, и эти операции повторяют необходимое число раз. Конечно-разностная аппроксимация уравнения (1) по явной схеме (2) позволяет .использовать Простой решающий элемент, но решение

исходной задачи требует значительных затрат времени.

В схеме статического-электроинтег ратора {1) для повышения скорости счета вводятся блоки регулируемого запаздывания (БРЗ), число которых равно числу шагов пространственного, разбиения исследуемой области.

На вход первсэго БРЗ подаются потенциалы, моделирующие постоянные во времени граничные условия и начальные значения температуры. С вводом нового значения происходит сдвиг всей информации по цепи БРЗ до ее заполнения. Выходы конечных БРЗ подключены к решающему элементу. На выходе решающего элемента получается потенциал, соответствующий, температуре в следующий момент времени- l&t в первом узле, который вновь подается на вход цепи БРЗ. Таким образом, после ввода граничных условий и начального распределения в цепь БРЗ автоматически последовательно заносятся потенциалы, соответствующие распределению температуры на следующем временном шаге. Вновь занесенное в цепь БРЗ распределение потенциалов используется как начальное для получения решения на следующем шаге по времени 2At. Цикл повторяется необходимоё:число раз Cl3..

Получение более точного решения дифференциального уравнения требует большего количества taaroB разбиения по пространственной координате. Реализация этой возможности в устройстве требует равного увеличения числа БРЗ в цепи, т.е. ее удлинения. Цепь из большего числа БРЗ дает на выходе большую нелинейную систематическую ошибку, что приводит к обратному результату - снижению точности и ограничивает возможности увеличения точности решения, так как уменьшение нелинейной систематической ошибки каждого БРЗ требует, больших а ппаратурных з.атрат и не может реа:лизоваться одним усилителем - корректором, включенным на выходе решающего элемента. Кроме тОго, для решения используются потенциалы, хра;нящиеся в БРЗ, это требует дополнительно специальных устройств для ввода начальных и граничных условий, вывода и контроля решения. Устройство непригодно для решениянелинейных задач или задач типа Стефана.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому, является устройство, включакяцее потенциометр из плоской электропроводной среды, резистивйый решанндий элемент и нульорган. Решение уравнения (1) на устройстве для моделирования дифференциальных -уравнений в частных производных осуществляется следующим образом. В соответствии с выбранной конечно-разностной аппроксимацией

уравнения (1) задается вид резистивного решающего элемента. На плоский потенциометр наносится (N+)-a линия с шагом, соответствующим дх, и маркируется от О до N. Перпендикулярно этим-линиям на электропроводную среду накладываются шины, соединенные с клеммами источника напряжения. На отмеченные линии графически наносятся точки, т.е. потенциалы, которые соответствуют граничным условиям и начальномураспределению температуры. Каждая точка на потенциометре эквивалентна запоминанию отмеченного потенциала. Таким образом, .плоский потенциометр выполняет роль долговременной аналоговой памяти, что позволяет исключить систематические ошибки перезаписи, которые возникали при использовании цепи БРЗ. Из нужных точек кривой начального распределения с потенциометра из плоской электропроводной среды потенциалы подаются на входы резистивного решающего элемента. Выход решающего .элемента, на котором образуется потенциал, соответствующий очередному решению, соединен через нуль-орган с поисковым щупом. Перемещая поисковый щуп по соответствующей линии, находят Точку с потенциалом Vn,i , которая запоминается графической отметкой. Перемещая прижимные контакты по точкам начальной кривой, получают распределение потенциалов на первом., временном шаге. На следующем этапе вновь полученное распределение используется в качестве исходного и отыскивается распределение на втором временном шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не находится решение уравнения для всех заданньох моментов времени. Эти решения по окончанию счета представлены в виде графиков, построенных по отметкам на электропр.водной среде.

Установка прижимных контактов в соответствующие точки осуществляется оператором со случайной ошибкой которая имеет тенденцию взаимно уничтожаться, в отличие от систематической ошибки в известном устройстве 2

Однако последовательность проведения счета требует для нахождения каждого последующего потенциала делать перестановки прижимных контактов,. Так как количество шагов по вре менному аргументу, достигает сотен, а по пространственному аргументу десятков, то эта операция занимает много времени и делает продолжительным процесс счета. К систематической погрешности приводит шунтирующее действие потенциометра по отношению к резисторам решающего элемента, так как они непосредственно подключены к точкам плоской электропроводной среды. Цель изобретения - увеличение бы родействия и повышения точности решения. Поставленная цель достигается тем, что в устройство для решения ; дифференциальных уравнений, содержащее потенциометр, выполненный в виде электропроводной среды, решающий элемент, выход которого соединен с входом нуль-органа, и поисков щуп, вводится цепочка из последовательно соединенных блоков регулируе мого запаздывания, число которых ра но числу известных членов в выбранной конечно-разностной аппроксимации уравнения, ключ и развязывающий усилитель, причем вход развязыв щего усилителя подключен к замыкающему контакту ключа, выход развязывающего усилителя подключен к входу первого блока регулируемого запазды вания цепочки, выходы всех блоков регулируемого запаздывания цепочки соединены с входом решающего элемен та, выход нуль-органа подключен к размыкающему контакту ключа, подвиж ный контакт которого соединен с поисковым щупом. Число блоков регулируемого запаз дывания цепочки меньше количества разбиений по пространственной коорд нате и не зависит от него-. Тем Сс1мы не ограничивается точность решения. Например, из уравнения (2) видно, что число ячеек памяти равно трем для запоминания значений Up.i | , .k Из вида конечно-разностной аппро симации следует, что часть .известных членов для нахождения решения в соседних точках разбиения совпада ет. Возможность сохранения в цепочке блоков регулируемого запаздывания потенциалов, записанных ранее и необходимых для очередного решения, позволяет вводить минимальное количество новых потенциалов. Напряжения из соответствующих точек электропроводной среды подаются на входы решающего элемента с выходов блоков регулируемого запаздывания, чем обеспечивается гальваническая развяз ка плоского потенциометра и решающего элемента. Цепочка блоков регулируемого запаздывания позволяет использовать многовходовой решающий элемент, требующий многократного перемещения и установки прижимных контактов, как одновходовой, и применить поисковый щуп для поиска решения и для записи потенциалов в цепочку блоков регулируемого запаздывания. При проведении решения на входы решающего элемента задаются потенциалы из блоков регулируемого запаздывания. В режиме ввода осуществляется последовательная перезапись потенциалов по цепочке блоков регулируемого запазды вания (в первый блок записывается новый потенциал, старый потенциал переписывается во второй и т.д. , а потенциал, который хранится в последнем, стирается. В результате, после ввода на выходе решающего элемента появляется напряжение, соответствующее очередному решению, которое отыскивается с помощью нуль-органа и поискового щупа. Найденная точка на плоской электропроводной среде отмечается графической отметкой. Сочетание плоской электропроводной среды, как долговременной памяти, и цепочки блоков регулируемого запаздывания, выполняющей роль оперативной Пс1мяти, позволяет избавиться от накопления систематической ошибки, увеличить точность решения и скорость процесса, счета. На чертеже приведена принципиальная схема устройства. Устройство включает цепочку блоков 1 регулируемого запаздывания. Все блоки регулируемого запаздывания однотипны и состоят из потенциометрических конденсаторов С, ..., ключей к, ..., к и операционных усилителей (ОУ). Выходы блоков регулируемого запаздывания подключены ко входам решающего элемента 2. Выход решающего элемента 2 подключен ко входу нульоргана 3, выход которого подключен к поисковому щупу 4 через размыкающие контакты ключа 5. Развязывающий усилитель 6 служит для гальванической развязки цепочки блоков регулируемого запаздывания и электропроводной среды 7. Для решения дифференциального уравнения на потенциометр из плоской электропроводной среды 7 наносятся граничные условия и начальное распределение. Затем в блоки 1 вводятся потенциалы начального распределения, соответствующие известным членам в выбранной конечно-разностной аппроксимации. Причем вначале вводятся потенциалы с координатой п-1, затем с координатой п ив конце с координатой п+1. Для ввода поисковый щуп 4 устанавливается в точку начального распределения, которой отмечен необходимый потенциал и замыкаются контакты ключа 5. При этом поисковый щуп 4 отключается от нуль-органа 3 и .подключается к развязывающему усилителю 6. Затем замыкаются контакты ключа 5. Выход ОУ, соединенного с емкостью Cf., , отключается от реающего элемента 2 и подключается к емкости Cm . На емкость Cm записывается потенциал емкости С. . По окончанию записи контакт ключа к возвращается в первоначальное состояние. Далее замыкается ключ к,и ерез его контакты и ОУ потенциал

с емкости Cfn-i записывается на емкость С. и т.д. до замыкания- контактов ключа К, . При этом на емкость Су через развязьшающий усилитель б и контакты ключа 5 записывается потенциал точки, в которую установлен поисковый щуп 4, после чего ключи К и 5 возвращаются в исходное состояние. Остальные необходимые потенциалы.записываются аналогично. По окончании ввода потенциалы сохраняются в емкостях С,. ..,, С„ и подаются на соответствующие входы решающего элемента 2. Из условий моделирования на выходе решающего элемента 2 получается искомый потенциал.

С помощью нуль-органа 3 поисковым щупом 4 на потенциометре из плоской электропроводной среды 6 на линии с, ,координатной п находится и отмечается эквипотенциальная точка. Потенциал в этой точке соответствует температуре Д нахождения следующей точки , соответствующей температуре U|iti , необходимо в цепочку блоков 1регулируемого запаздывания записать известные потенциалы только 1C координатой п+2, так как после записи этих потенциалов, потенциалы с координатами п и п+1 сохраняются,сдвигаясь по цепочке, и подаются на соответствующие входы решающего элемента 2. На входе решающего элемента 2 получается потенциал, соответствующий температуре и,. На электропроводной среде отмечает ся соответствующая точка. Таким образом находятся все внутренние точки. Для нахождения граничных точек перестраивается решающий элемент в соответствии с условием моделирования гра кичных условий, а в -цепочку блоков регулируемого запаздьования записываются необходимые потенциалы. Отмеченные точки соединяют отрезками прямых и получают кривую распределен ния температуры на первом временном шаге . Используй это распределение,, как начальное, находится распре деление на .временном шаге 2 t. Таким образом находится распределение температуры для заданных моментов времени.

Решение нелинейных уравнений реализуется теми же элементами, перестраивается только решающий элемент.

Применение цепочки блоков регулируемого запаздывания в сочетании с

электропроводной средой позволяет получить ряд преимуществ. Увеличивается скорость счета, так как в цепочке сохраняется часть информации, необходимой для следующего решения

. и устраняются перестановки прижимных контактов.

Данное устройство при Минимальной регулярной ошибке и независимости

числа блоков регулируемого -запаздывания от числа разбиений по пространственной координате, позволяет повысить точность вычисленийJ Кроме того, данное устройство не нуждается в дополнительной аппаратуре для koppeктиpoвки смещения нуля операционных усилителей. Эту, функцию выполняет нуль-орган.

Ввод и выход информации осуществляется в виде графиков без промежуточных операций.

Формула изобретения

Аналоговое устройство для решения 5 дифференциальных уравнений, содержащее потенциометр, выполненный -в виде электропроводной среды, решающий элемент, выход которого соединен с входом нуль-органа, и поисковый

щуп, о-тличающееся тем.

что, с целью повышения точности и быстродействия, оно содержит цепочку из последовательно соединенных блоков регулируемого запаздывания, число которых равно числу известных членов в выбранной конечно-разностной аппроксимации уравнения, ключ и развязывающий усилитель, причем вход развязывающего Усилителя подключен к замыкающему контакту ключа, выход

0 развязывающего усилителя подключен к входу первого блока-регулируемого запаздывания цепочки, выходы всех блоков регулируемого запаздывания цепочки соединены с входом решающего

С элемента, выход нуль-органа подключен к замыкающему контакту ключа, подвижный контакт которого соединен с поисковым щупом.

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1.Авторское свидетельство СССР № 154733, кл. G Об G 7/18, 1962.

2.Авторское свидетельство СССР № 363992, кл. G 06 G 7/44, 1971 (прототип).