Устройство для определения закона распределения случайной величины Советский патент 1986 года по МПК G06F17/18 

Изобретение относится к статистической обработке случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений.

Цель изобретения - повышение точности определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений.

На фиг.1 показана функциональная схема устройства; на фиг.2 - функциональная схема преобразователя.

Функциональная схема включает блок 1 определения среднего арифметического , блок 2 определения среднеквад- ратического отклонения и блок 3 индикации, причем в разрыв между выходом блоков 1 и 2 и входом блока 3 индикации включены последовательно соединенные коммутирующий элемент 4, квадратор 5, умножитель 6, сумматоры 7 и 8, блок 9 вычисления экспоненты, коммутирующий элемент 10 и интегратор 11, причем первый вхо д. элем ента 4 соединен с выходом блока 1 определения среднего арифметического, вход квадратора 5 - с одним выходом элемента 4, а выход - с входом умножителя 6, выход которого соединен с одним входом сумматора 7, выход которого соединен с одним входом сумматора 8, выход блока 9 вычисления экспоненты соединен с одним входом коммутирующего элемента 10, а выход интегратора П - с входом блока 3 индикации, последовательно соединенные коммутирующий элемент 12, второй квадратор 13, блок 14 вычисления обратной величины, умножители 15 и 16, сумматор 17, причем один вход элемента 12 соединен с выходом блока 2 определения среднеквадратического отклонения, выход блока 14 соединен с одним входом умножителя 15, второй вход которого соединен с выходом элемента 4 а выход - с одним входом умножителя 16, выход которого соединен с ,одним входом сумматора 17, выход которого соединен с вторым входом сумматора 8, последовательно соединенные усилитель 18, блок 19 сравнения и коммутатор 20, управляющий коммутирующие элементы 4

0

нения, второй вход которого соединен с выходом блока 1 определения среднего арифметического, первый и второй выходы коммутатора 20 соединены соответственно с управляющими входами элементов 4 и 12, последовательно соединенные усилитель 21, блок 22 определения натурального логарифма и элемент НЕ 23, причем вход усилителя 21 соединен с одним выходом элемента .12, а выход элемента НЕ 23 - с другим входом сумматора 7, последовательно соединенные блок 24 вычисления обратной величины, усили- тель 25, блок 26 определения натурального логарифма и сумматор 27, . причем вход блрка 24 соединен с выходом элемента 12, выход второго блока 26 определения натурального .логарифма соединен с одним входом сумматора 27, выход которого соединен с одни1У1 входом сумматора 8, последовательно соединенные усилитель 28 и делитель 29, причем вход усилителя 28 соединен с другим выходом комму- тирующего элемента 4, а выход - с од: ним входом (входом делимого) делителя 29, другой вход (вход делителя) которого соединен с выходом элемента 12, последовательно соединенные усилитель 3Qj, и умножитель 31, причем вход усилителя 30 соединен с выходом блока 14, а выход - с одним входом умножителя 31, выход которого соединен с другим входом сумматора 17, последовательно соединенные квадратор 32 и умножитель 33, причем вход квадратора 32 соединен с выходом усили- . теля 25, а выход через умножитель

20

25

30

35

40

33 - с умножителем 31, три функциональных преобразователя 34 - 36 входы которых соединены с выходом делителя 29, выход функционального преобразователя 34 соединен с одним из

входов сумматора 27, а выход преобразователя 35 - с одним из входов умножителя 33., умножитель 37, один вход которого соединен с выходом функцио- на.пьного преобразователя 36, другой

50 вход - с выходом усилителя 25, а выход - с одним входом умножителя 16, последовательно соединенные блок 38 оперативной памяти, генератор 39 линейно изменяющегося напряжения,второй

и 12, причем вход усилителя 18 соеди-55 блок 40сравнения,второй коммутатор41

нен с выходом блока 2 определенияи блок 42 возведения в квадрат,

среднеквадратического отклонения, аФункциональная схема преобразовавыход - с одним входом блока 19 срав-теля 34 (фиг.2) включает блок 43 па-

нения, второй вход которого соединен с выходом блока 1 определения среднего арифметического, первый и второй выходы коммутатора 20 соединены соответственно с управляющими входами элементов 4 и 12, последовательно соединенные усилитель 21, блок 22 определения натурального логарифма и элемент НЕ 23, причем вход усилителя 21 соединен с одним выходом элемента .12, а выход элемента НЕ 23 - с другим входом сумматора 7, последовательно соединенные блок 24 вычисления обратной величины, усили- тель 25, блок 26 определения натурального логарифма и сумматор 27, . причем вход блрка 24 соединен с выходом элемента 12, выход второго блока 26 определения натурального .логарифма соединен с одним входом сумматора 27, выход которого соединен с одни1У1 входом сумматора 8, последовательно соединенные усилитель 28 и делитель 29, причем вход усилителя 28 соединен с другим выходом комму- тирующего элемента 4, а выход - с од: ним входом (входом делимого) делителя 29, другой вход (вход делителя) которого соединен с выходом элемента 12, последовательно соединенные усилитель 3Qj, и умножитель 31, причем вход усилителя 30 соединен с выходом блока 14, а выход - с одним входом умножителя 31, выход которого соединен с другим входом сумматора 17, последовательно соединенные квадратор 32 и умножитель 33, причем вход квадратора 32 соединен с выходом усили- . теля 25, а выход через умножитель

0

5

0

5

40

33 - с умножителем 31, три функциональных преобразователя 34 - 36 входы которых соединены с выходом делителя 29, выход функционального преобразователя 34 соединен с одним из

входов сумматора 27, а выход преобразователя 35 - с одним из входов умножителя 33., умножитель 37, один вход которого соединен с выходом функцио- на.пьного преобразователя 36, другой

50 вход - с выходом усилителя 25, а выход - с одним входом умножителя 16, последовательно соединенные блок 38 оперативной памяти, генератор 39 линейно изменяющегося напряжения,второй

3123

мяти, блок А4 возведения в квадрат, блоки 45 - 50 умножения и сумматор 51. По этому принципу построены функциональные преобразователи 35 и 36.

Устройство работает следующим об- разом.t

Устройство реализует способ построения оценки закона распределения по малой выборке, основанный на принципе максимизации энтропии. При таком подходе плотность любого распределения представляется в виде

i(.p(jUix),

О

где ро , (U, , . , jUm - параметры распределения.

Параметры распределения определяются в ходе решения системь уравнений

V,

°° m

f х ехр(г:ш1-х 1(

1-0

л

k О, 1, 2, ..., m

где -3 к - начальный момент k-ro порядка.

Для неусеченных распределений принимают , для (UJ (,l,2) определяют эмпирические значения среднего арифметического и среднеквадратичес- кого отклонения , и б .

Если соблюдается условие , Зб , то согласно принципу максимизации энтропии, любое распределение апирок- симйруется нормальным, параметры которого определяются с помощью выражений

(и„ - En (б ,

Р, -р-, о.

11

(3)

г2G

Если же -), 6 36, то необходимо использовать систему уравнений (2) которая не имеет аналитического решения .

Поэтому применяют для нахождения |U; (,l,2) следующий метод.

Исходный интервал (а,В) , на котором возможны реализации случайной величины X, преобразуют к интервалу (0; 14), т.е. от исходной величины переходят к нормированной х, для которой .

64

Определяется величина первого нормированного начального момента случайной величины X

б 2-. - -,

-5.

(4)

5

10

15

где -5, и б - соответственно первый начальный момент и среднеквадратичес- кое отклонение исходной случайной величины.

Определяются значения (и: (, 1 ,2) нормированных параметров распределения случайной величины х, предварительно рассчитав нормированные параметры распределения при различных значениях -5, и сгладив полученные совокупности значений (n:(,l,2) кри- вьми вида

20

P(x)t:ajx- 1«1

(51

Нормированные параметры распределения представляют в виде

(2)

25

С-

p.-Jlo,, Р,.ь,-о;,.

5 ,

Рг , .

1 -ri

(6)

Производится операция обратного масштабирования, т.е. по найденным |Uj(,l,2) определяются истинные значения параметров распределения, соответствующие исходному интервалу (а, Ь): ,

40

(Uo |U

о + En (-|-),

45

р, -.--р.

4 fU, --J .

(7)

Далее по полученным значениям и rtij строится оценка функции распределения случайной величины х «

F(x)P() - ехр (jbo+(U.x+(i(x)dx. о(8)

Устройство функционирует следующим образом.

Реализации случайной величины х . поступают в блоки 1 и 2, которые производят определение значений среднего, арифметрического , и среднего квадра- тического отклонений и соответственно, с выхода блока 2 значение d подается на вход усилителя 8 с коэффициентом усиления равным 3, с выхода ко торого сигнал, численно.равный 3, подается на первый вход блока 19 сравнения, на второй вход которого подается сигнал т с выхода блока 1 определения среднего арифметического Сигнал рассогласования, появляющийся на выходе блока 19 сравнения, поступает на вход коммутатора 20, который в зависимости от знака сигнала рассогласования замыкает коммутирующие элементы 4 и 12 либо в положение 1, либо в положение 2. В случае, если ), 3 б , элементы 4 и 12 замкнуты в положение 1. Значение б поступает на .вход квадратора 13 и усилителя 21 с, коэффициентом усиления -42 fi , С выхода квадратора 13 значение б поступает на вход блока 14 вычисления обратной величины, на выходе которого, в свою очередь, появ- ляет.ся сигнал, численно равньш 1/С;, поступающий далее на вход усилителя 30 с коэффициентом усиления, равным 0,5, и на первый вход умножителя 15. На выходе усилителя 30 появляется

1 сигнал Шг 9 поступающий далее

на первый вход умножителя 31, и, кроме того, на второй вход умножителя 6

Далее на второй вход умножителя 15 поступает сигнал -J, с выхода 1 элемента 4. На выходе умножителя 15

5,

появляется сигнал /к, -Г-г, поступающий далее на первый вход умножителя 16. Кроме того, сигнал, численно равный 42 ITd , поступает на вход блока 22 определения натурального логарифма, далее на вход элемента НЕ 23,, На выходе которого появляется сигнал равный -111 ( -лГГтг -б ), поступающий далее на один из входов сумматора 7.. Далее сигнал -, с выхода 1 элемента 4 подается на вход квадратора 5, с выхода которого сигнал подается на один из входов умножителя 6 с выхода которого, в свою очередь,

. 2 б

ступает на один из входов сумматора 7, на выходе которого появляет 2

с;я сигнал Шр --РП ( 42-( )- )

сигнал, численно равный - по

5

0

поступающий далее на один из входов сумматора 8.

Если , 6 36 , элементы 4 и 12 зам-кнуты в положение 2. Сигнал --Ji при этом подается на вход усилителя 28 с коэффициентом усиления, равным 2, с выхода которого сигнал 2 9, поступает на вход делимого делителя 29, на вход делителя которого поступает сигнал б с выхода 2 элемента 12, На выходе делителя 29 формиру. 2,

ется сигнал т), --,-, который поступает далее на вход трех функциональных преобразователей 34 - 36, формирзпоших соответственно значения нормированных параметров распределения fUg, ju И (U, , Кроме того, сигнал б с выхода 2 элемента 12 поступа5

0

5

0

5

с выхода котос выхода ет на вход.блока 24,

1

рого сигнал -J- подается на вход и

усилителя 25 с коэффициентом усиления, равным 2, с выхода которого, в

2 свою очередь, сигнал -,- поступает

на вход блока 26 определения натурального логарифма, на вход квадратора 32 и на второй вход умножителя 37. Далее на вхо;з 1 умматора 27 поступают сиг2

налы Й1 -р- с выхода блока 26 определения натурального логарифма и jU с выхода функционального преобразователя 34, На выходе сумматора 27 форV 2

мируется сигнал fitg in р-, поступающий далее на первый вход сумматора 8, На входы умножителя 33 по4

ступают сигналы с выхода квадра- б

тора 32 и )U.j с выхода функционально- ,го преобразователя 35. На выходе умножителя 33 формируется сигнал 11

1 4

U -;, поступающий далее на первый вход умножителя 31, Кроме того, на выходе умножителя 37 формируется

f)

сигнал |Ц, |U , :г поступающий далее

на один из входов умножителя 16,

Таким образом, в зависимости от соотношения между эмпирическими значениями первого начального момента , и утроенного среднеквадратичес- кого отклонения б случайной величины X на вход участка схемы, реализующего

выражение (8),поступает либо совокупность параметров нормального распределения (3), либо совокупность параметров (7).

Далее с выхода генератора 39 линейно изменяющегося напряжения снимается сигнал X t, который поступает на вход блока 40 сравнения и на вход квадратора 42. На выходе умножителя 16 появляется сигнал, численно равным (U,x, поступающий далее на первый вход сумматора 17. Кроме того, на другой вход умножителя 31 поступает сигнал с выхода квадратора 42, далее сигнал, численно равный , :с выхода умножителя 31 подается на другой вход сумматора 17, на выходе которого, в свою очередь, появляется сигнал (ш,х + iijX;), поступающий далее на другой вход сумматора 8. С выхода сумматора 8 сигнал, численно равный (jUp+(;j,) , посту .пает на вход блока 9 вычисления экспоненты, с выхода которого, в свою очередь, сигнал, численно равный ехр ( Цо+ Щ.х + (Jij х), подается на коммутирующий элемент 10 на вход интегратора 11, с выхода которого снимается результирующий сигнал

со

P(xi об) ехр (ff(j, + fli,x+nj х) dt, о(9)

поступающий далее в блок 3 индикации Предел, интегрированный об , хранится в блоке 38 оперативной памяти. Как только значение станет равным об , на коммутатор 41, управляющий элементом 10, поступает сигнал с выхода блока 40 сравнения, коммутатор 4..1 размыкает коммутирующий элемент 10, и процесс интегрирования заканчивается.

Формула изобретения

Устройство для определения закона распределения случайной величины, содержащее блок определения среднего арифметического и блок определения среднеквадратического отклонения, входы которых объединены и являются входом устройства, и блок индикации, выход которого является выходом устройства, о тличающееся тем, что, с цепью повьщ1ения точности определения закона распределения при малом числе измерений, оно содержит пять усилителей, четыре квадратора, два коммутатора, три коммути- рующих элемента, два блока определения обратной величины, шесть умножи- 5 телей, два блока определения натурального логарифма, элемент НЕ, четыре сумматора, делитель, три функциональных преобразователя, блок вычисления экспоненты, интегратор, блок 10 оперативной памяти, генератор линейн изменяющегося напряжения и два блока сравнения, первый вход первого блока сравнения объединен с информационным входом первого коммутирующего эле- 15 мента и подключен к выходу блока определения среднего арифметического, второй вход первого блока сравнения соединен с выходом первого усилителя, а выход подключен к входу первого 20 коммутатора, первый и второй выходы которого подключены соответственно к управляющим входам первого и второго коммутирующих элементов, информационный вход второго из которых 25 объединен с входом первого усилителя и подключен к выходу блока определения среднеквадратического отклонения первый информационный выход первого коммутирующего элемента соединен с 30 первым входом первого умножителя

непосредственно и через первый квадратор - с первым входом второго умножителя, второй информационный выход первого коммутирующего элемента че- 35 рез второй усилитель подключен к первому входу делителя, первый информа-. ционный выход второго коммутирующего элемента подключен к входам третьего- усилителя и второго квадратора, выход 40 которого через первый блок определения обратной величины подключен к входу четвертого усилителя и второму входу первого умножителя, выход которого и выход третьего умножителя под- 45 ключены к первому входу четвертого умножителя по схеме монтажного ИЛИ, выход третьего усилителя через последовательно соединенные первый блок определения натурального логарифма и 50 элемент НЕ соединен с первым входом . первого сумматора,.второй вход которого соединен с выходом второго умножителя, а выходы первого и второго сумматоров подключены к первому вхо- 55 ду третьего сумматора по.схеме мол- тажного ИЛИ, выход четвертого усилителя подключен к второму входу второго умножителя непосредственно, а выходы пятого умножителя и четвертого усилителя соединены с первьм входом шестого умножителя по схеме монтажного ИЛИ, второй информационный выход второго коммутирующего элемента подключен к второму входу делителя и входу .второго блока.определения обратной величины, выход которого через пятый усилитель подключен к , первому входу третьего умножителя,, к входу третьего квадратора и входу второго блока определения натурального логарифма, выход которого соединен с первым входом второго умножи- TCjja, первый вход пятого умножи- .теля подключен к выходу третьего квадратора, выход делителя соединен с входами функциональных преобразователей, выходы которых подключены соот-- ветственно к второму входу второго сумматора и вторым входам пятого и третьего умножителей, при этом выход генератора линейно изменяющегося

напряжения подключен к второму входу четвертого умножителя, входу -четвертого квадратора и первому входу второго блока сравнения, второй вход ко- тррого объединен с входом генератора линейно изменяющегося напряжения и подключен к выходу блока оперативной памяти, выход второго блока сравне-:- ния через коммутатор подключен к уп- равляющемз входу третьего коммутирующего эх1емента, вьгход которого через интегратор соединен с входом блока индикации, выход четвертого квадрато- jja соединен с вторым входом шестого умножителя, овыход которого подключен к первому входу четвертого сумматора, второй вход которого соединен с выходом четвертого умножителя, а выход подключен к второму входу третьего сумматора, выход которого через блок вычисления экспоненты соединен с информационным входом третьего коммутирующего элемента..

Фиг. /

- - -Редактор Н.Рогулич

Составитель Э.Сечина

Техред Л.Олейник Корректор Л.Патай

Заказ 3023Тираж 671Подписное

ВНИИПИ Государственного комитету СССР

по делам изобретений и открытий 113033, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-полиграфическое предприятие, г.Ужгород, ул.Проектная, 4

Фм.2.

Изобретение относится к области вычислительной техники. Цель изобре,тения - повышение точности определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений, за счет дополнительного введения . двух блоков сравнения, пять усилителей, четырех блоков возведения в квадрат, двух,коммутаторо в, трех ключевых элемента, двух нелинейных элемента типа обратно пропорциональное звено, шести блоков умножения, двух блоков вычисления натурального логарифма, инвертора, четырех сумматоров блока деления, трех функциональных преобразователей, блока вычисления экспоненты, интегратора, оперативного запоминающего устройства и генератора линейно изменяющегося напряжения , Процедура оценки закона распределения полностью автоматизирована, для оценки параметров распределения используются начальные моменты, значения которых при ограниченном объеме опытной информации являются более стабильными, чем отдельные реализации случайной величины, 2 ил,. S (Л со САд Ol