Устройство для определения закона распределения Советский патент 1989 года по МПК G06F17/18 

сд го

Изобретение относится к области статистической обработки случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайных величин при малом числе измерений. Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения. В устройстве осуществляется априорная непараметрическая оценка плотности вероятности, уточняющая финальную информационную оценку. Работа устройства включает три этапа. На первом этапе осуществляется вычисление параметров распределения. При этом решается система уравнений с двумя неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределения определяется третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определяется оценка плотности искомого распределения. Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки плотности распределения, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 1 ил.

ел

4 CL

ления. При этом решается система уравнений с двумя неизвестными. На втором этапе по найденным двум параметрам распределения определяется третий параметр. На третьем этапе по известным параметрам определяется оценка, плотности искомого распределения. Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10,

Изобретение относится к статистичес КОЙ обработке случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайной величи ны при малом числе измерений.

Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения.

На фиг. 1 показана блок-схема уст- ройства для определения закона распределения; на фиг. 2 - блок-схема блока определения параметров распределения.

Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутато-. ры 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, синхронизатор-14, сумматоры 15 и 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистр 22, блоки 23 и 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки точности распределения, мультиппексор 26, умножители 27 и 28, элемент 29 задержки и регистр 30.

Первый блок 23 определения пара- метров распределения (фиг. 2) содержит регистры 31-37, элементы ИЛИ. 38-42, сзтмматор 43, вычитатель 44, делитель 45 на два, элемент 46 сравнения, узел 47 вьщеления знака, на- капливающий сумматор 48, элемент НЕ 49, элементы И 50 и 51 и синхронизатор 52.

Блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения извес- тен.

В основу работы устройства положено использование нового метода оп.умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки плотности распределений, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 2 ил.

ределения закона распределения случайной величины при малом числе наблюдений, базирующегося на идее получения наиболее правдоподобной, наиболее объективной оценки рдспределения при Ф1еющихся априорных данных. Пусть, имеется набор экспериментальных данных (выборка) объема N. Статистически данные представлены в виде гистограммы с частотами N, NQ, ..., . Пусть гистограмме ставится в соответствие некоторое распределение Р, , Р, «., Ре отражающее априорные знания (или предположения) о законе распределения. Оценим вероятност того, что в эксперименте получены именно наблюдаемые реализации случайной величины при условии, что закон распределения есть Р , Р, ..., Р..

Вероятность совместного наступления г - независимых событий, каждое из которых заключается в попадании NP реализаций в i-й столбец, есть

(1)

Р

I И

Вероятность того, что наблюдаемый набор данных получен из генеральной совокупности с законом распределения Р Piz

я ПР-Г- .

П N-. (2)

Можно показать, что эта вероятность достигает единицы при полном совпадении теоретических вероятностей Р. и эмпирических вероятностей

NI

PJ - jT . Этот вариант идеальный, недостижимый практически. Необходимо установить другое - при каком распределении выборки эта вероятность

максимальна. Для этого рассмотрим величину

Q

Inq

N

координаты максимума которой совпадют с координатами максимума вероятности q. После ряда преобразований получаем

г

Q -7 Р In

1

IL

Р;

(4)

Величина Q является информационной мерой близости распределений Pj и р. , i 1, г. Доказано, что функция Q имеет нулевой максимум при р PJ , i 1, г, т.е.. когда ап- .риорные : предположения о законе распределения полностью подтверждаются результатами эк сперимента.

На практике имеет смысл ставить задачу так: найти такое распределение выборки, которое бы максимально приближалось к априорному распределению и не противоречило бы результатам опыта. Такой подход приводит к задаче максимизации функции Q при ограничениях, вытекающих из результатов наблюдений. Эти ограничения должны отражать факт совпадения определенных числовых характеристик искомого закона с их оценками, найденными по выборке.

Поскольку все существенные особенности распределений характеризуются их моментами, в качестве ограничений

целесообразно выбрать уравнения

- -2 .

. Р -S:, k 1, 2, ..., m, (5)

ЬА

В левой части которых находятся выражения для начальных моментов искомого распределения, а в правой - оценк этих моментов, вычисленные по выборке

л л -f

(6)

ЧнЬ

k 1, 2,

m.

а х;

где X; - коо-рдината середины интервала аппроксимации.

Эти уравнения дополняются ем нормировки

г

И i

р; 1

Таким образом, решение ищется в классе распределений, первые момен

10

15

20

25

и g ты которых совпадают со статистически оценками моментов. Совпадение нескол ь- ких первых моментов является практической гарантией того, что распределение- ,оценка аппроксимирует неизвестное реальное распределение. Доказано, что оптимальное число учитываемых -моментов зависит от числа опытных данных и возрастает с его ув еличением. При малых объемах выборки наиболее целесообразно использовать в ограничениях первые два момента. Решая поставленную оптимизацию-за- методом неопределенных множителей Лангража получаем выражение для искомого распределения

Р Р;ехр{ . ,

i 1, г..(8)

Параметры распределения при этом определяются следующей системой уравнений:

V ln CP;exp ;A,S; ; (9)

+ ) О,

(10)

. II(i -).Р;ехр(;,х, ; -..

:k 1, 2.

30 Точность данного метода существенно зависит от точности определения априорной плотности вероятности Pj . В случае, когда отсутствует возможность получить достаточно хорошую

og оценку априорного распределения, целесообразно применять двухэтапную процедуру определения закона распределения. На первом этапе реализации выборки из оцениваемой генеральной

40 совокупности обрабатываются одним из непараметр11ческих методов (в устройстве используется метод последовательной дихотомии).

g

50

55

На втором этапе полученная оценка плотности вероятности принимается в качестве априорной для описанного метода. При этом из множества допустимых оценок искомого распределения выбирается наиболее близкая к априорной непараметрической оценка. Описанная процедура позволяет учитывать не только концентрированную информацию о выборке, заключенную в моментах распределения (что характерно для информационного метода), но и вклад каждой отдельной реализации выборки, что приводит к повышению точности оценивания.

Для численного решения системы уравнений (10) используется метод двумерной дихотомии, основанный на известной процедуре уточнения корней уравнения методом деления отрезка пополам. Рассмотрим алгоритм работы метода двумерной дихотомии, предполагая, что решается система

( fvC/l.a) 0;.

. I fa(/l,, k) О

Координаты U| , V( , , ( характеризует область, в которой заведомо находится искомое решение, границы области легко найти путем предварительных исследований.

Вначале параметру /l,присваивается значение bri V. и уравнения

f,(,, ba) 0; f(b b) О

(12)

решаются относительно параметра / методом деления отрезка пополам при допустимой погрешности . Резуль- . таты обозначим ;U и м, знак разности м

S sign(|,- jMj)

Определяется

(13)

значение

Далее параметру Л присваивается

--;, и уравнения (12)

вновь решаются относительно Д(. Результаты обозначим fl / и Tiii, Определяется знак разности уи / ,-1

S,. sign( .(14)

Если S S, то для следующей итерации принимают Ь/2 Яе , в противном случае принимают a/i g. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

. Ь - а бй,(15)

где - допустимая погрешность определения параметра /ig.

Полученные в результате значения /i и Я параметров //2 являются решением системы (11), Подсо авив найденные значения в формулу (9), находим параметр /1о, и искомое распределение (8) полностью определено.

Устройство работает следующим образом.

Предварительно, по первым г-адре- сам блока 7 памяти заносятся значе- i 1, г, коммутаторы 2-6

а ния X

установлены в первое положение„ В регистре 30 хранится код ширины интервала аппроксимации Л , На информационные входы регистров 31 и 32 поданы соответственно коды минимального и максимального значений параметра /1(, на соответствующие входы блоков 23 и 24 поданы коды минимального и максимального значений параметра . коды и ,2 допустимых погрешностей определения параметров / и ,j. В регистр 22 занесен нулевой код.

Реализации х;, j 1, N,исследуемой случайно величины поступают на , информационные входы блока 1 вычисления начальных моментов и блока 25, fla выходах блока 25 формируются зна-;

5

0

5

0

5

0

чения Н

)

г J ординат нормироQ ванной непараметрической оценки плот-, ности распределения, Процесс вычисле- ния моментов , блоком 1 заканчивается формированием на его управляющем выходе импульса. По этому импульсу запускаются блоки 23 и 24,

Процесс решения уравнений (10) методом деления отрезка пополам методом двумерной дихотомии организуется в блоках 23 и 24,

По окончании вычислений блока 24 формируется импульс, переключшощий коммутаторы 4 и 5 во второе положение, В устройстве -при этом осуществляется вычисление параметра формуле (9). По окончании обработки всех

t

зна:чений х-,; и Pj код IZP; ехр( Д; + .+ 7(у ) с выхода сумматора 1 6 поступает на вход блока 20 вычисления натурального логарифма. Полученный код параметра/Ig через элемент НЕ 21 записывается в регистр 22. Далее коммутатор 6 переключается во второе положение. При этом в устройстве осуществляется вычисление значений , i 1, г,искомого закона распределения согласно (8), Результирующий код с выхода блока 17 вычисления экспоненты через второй вход коммутатора 4 и второй выход коммутатора 6 поступает на вход блока 8 индикации.

Формула изобретения

Устройство для определения закона распределения, содержащее квадратор, пять коммутаторов, три умножителя, блок определения натурального логарифма, элемент НЕ, два сумматора,

блок вычисления экспоненты, блоки памяти, блок индикации, блок вычисления начальных моментов, вычитатель, два элемента ИЛИ, регистр, синхрони- .затор, блок определения первого параметра экспоненциального распределения, блок определения второго параметра экспоненциального распределения входы задания минимального значения первого параметра распределения, максимального значения первого параметра распределения, допустимой погрешности определения первого параметра распределения блока определения первого параметра экспоненциального распределения и входы задания минимального значения второго параметра распределения , максимального значения . второго параметра распределения, допустимой погрешности второго параметра распределения блока определения второго параметра экспоненциального распределения являются соответствен- Но одноименными входами устройства, информационный вход блока вычисления начальных моментов является информационным входом устройства, выход первого момента блока вычисления начальных моментов соединен с первым информационным входом первого коммутатора выход второго момента блока вычисления начальных моментов соединен с вторым информационным входом первого коммутатора, с выходом окончания вычислений первого параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения, с вторым входом запуска блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход первого коммутатора соединен с входом уменьшаемого вы- читателя, вход вычитаемого которого соединен с выходом второго коммутатора, первый информационный вход которого соединен с выходом блока памяти, с первым информационным входом первого умножителя и через квадратор с вторым информационным входом второго коммутатора и с первым информационным входом второго умножителя, вход разрешения считывания блока памяти соединен с первьм выходом синхронизатора, адресный вход блока памяти соединен с вторым выходом синхронизатора, тактовые входы вычитателя и первого и второго умножителей соединены с третьим выходом синхронизатора , выход вычитателя соединен с пер, , 152054510

вым информационным входом третьего умножителя, второй информацоинный вход первого з множителя соединен с выходом первого параметра блока определения первого параметра экспонен0

5

0

0

циального распределения, с входом первого параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход первого умножителя соединен с первым информацион- ным входом первого сумматора, второй информационный вход которого соединен с выходом второго умножителя, вто5)ой информационный вход которого соединен с выходом второго параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения, третий информационный вход первого сумматора соединен с выходом регистра, а тактовый вход третьего сз мматора соединен с четвертым выходом синхронизатора выход первого сумматора соединен с информационным входом g блока вычисления экспоненты, такто- вый вход которого соединен с пятым выходом синхронизатора, тактовый вход третьего умножителя соединен с шестым выходом синхронизатора, выход третьего умножителя соединен с первым информационным входом третьего коммутатора, управляющий вход которого соединен с управляющим входом четвертого коммутатора, с выходом первого элемента ИЛИ, первый вход ко-, торого соединен с первым входом вто- . рого элемента ИЛИ, с входом установки в О регистра, с седьмым выходом синхронизатора, с входом останова блока определения первого параметра экспоненциального распределения и с входом останова блока определения второго параметра экспоненциального распределения, вход разрешения записи регистра соединен с вторым входом второго элемента ИЛИ и с восьмым выходом синхронизатора, информационный вход регистра через элемент НЕ соединен с выходом блока вычисления натурального логарифма, тактовый вход которого соединен с девятым выходом синхронизатора, информационный вход блока вычисления натурального логарифма соединен с первым выходом чет- вертого коммутатора, второй выход которого соединен с информационньм входом блока определения первого па- раметра экспоненциального распределения, информационный вход четвертого

5

5

0

11

коммутатора соединен с выходом второго сумматора, тактовый вход которого соединен с десятым выходом Синхронизатора, вход разрешения считывания второго сумматора соединен с одиннадцатым выходом синхронизатора, с входом тактирован ш выделения знака текущего значения блока определения первого параметра экспоненциального распреде- ления, вход установки в О второго сумматора соединен с выходом окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, ин- формационный вход второго сумматора .соединен с первым выходом пятого коммутатора, управляющий вход которого соединен с выходом второго элемента ИЛИ, информшдионный вход пятого ком- мутатора соединен с выходом третьего коммутатора, а выход соединен с входом блока индикации, двенадцатый выход синхронизатора соединен с тактовым входом блока определения перво- го параметра экспоненциального распределения, вход запуска импульсов синхронизации первой группы синхронизатора соединен с выходом окончания вычисления первого приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, вход запуска импульсов синхронизации второй группы синхронизатора соединен с входом разрешения вычисления третьего параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения и с вторым входом первого элемента ИЛИ, выходом окончания вычисле

ния второго параметра блока распреде- Q затора, а выход соединен с первым

ления второго параметра экспоненциального распределения, вьгход окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом тактирования, вычисления разности первого и второго приближений блока определения второго параметра экспоненциального распределения выход окончания вычисления первого гфиближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом разрешения записи первого приближения первого параметра блока определения второго параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения 5 выход окончания вычисления текущего приближения блока определе4512

ния параметра экспоненциального рас5

пределения соединен с входом,начала вычисления первого приближения,с входом пятого элемента И второго блока определения первого параметра экспоненциального распределения, отличающееся тем, что, с целью повышения точности определения закона распределения, в него введены блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения, мультиплексор, .четвертый и пятый умножители, элемент задержки и второй регистр, причем информационный вход блока вычисления непараметрической оценки плотности распределения подключен к информационному входу устройства, входы задания числа реализаций, числа инт.ервалов разбиений и ширины интервала анализа блока вычисления непараметрической оценки плотности распределения являются одноименными входами устройства, каждый выход блока определения непараметрической оценки плотности распределения соединен с соответствующим информационным входом мультиплексора, тактовый вход которого соединен с входом разрешения считывания второго регистра и первым выходом синхронизатора, адресный вхой мультиплексора соединен с вторым выходом синхронизатора, выход мультиплексора соединен с первым информа- ционным входом четвертого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго регистра, тактовый вход четвертого умкожителя соединен с третьим выходом синхрони0

5

0

5

информационным входом пятого умножи- .теля, второй информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления экспоненты, тактовый вход пятого з множителя соединен с тринадцатым выходом синхронизатора, а выход соединен с вторым информационным входом третьего коммутатора и третьего умножителя, выход окончания вычислений блока вычисления начальных моментов : через элемент задержки соединен с входами запуска блоков определения первого и второго параметров экспоненциального распределения,с вторым входом шестого элемента ИЛИ первого блока определения параметров распределения, с вторым входом первого и второго элементов И второго блока определения параметров распределения, с вторыми входами четвертого и пятого элементов ИЛИ второго блока определения .параметров распределения, с первым входом шестого элемента ИЛИ второго блока определения параметров распределения, с входом разрешения записи четвертого регистра второго блока определения параметров распределения.