Устройство для определения закона распределения случайной величины Советский патент 1988 года по МПК G06F17/18 

цифровой преобразователь 1, статистический анализатор 2, формирователь 3 начальных моментов, делители 4, 5, вычитатели 6, 8, квадраторы 7, 18 - 21 умножители 9, 29-34, блок 10 определения квадратного корня, цифро- аналоговые преобразователи 11, 12, усилители 13-17, коммутаторы 2Д, 25, ключ 26, блоки 27, 28 определения обратной величины, блоки 35, 36 определения натурального логарифма, элемент НЕ 37, сумматоры 38-41, функциональные преобразователи 43-45, блок 46 вычисления экспоненты, интегратор 47, регистр 48 памяти, генератор 49 линейно изменяющегося напряжения, блоки 50, 51 сравнения, элементы ИЛИ 52-54, блок 55 индикации. Ядерная оценка плотности распределения формируется в статистическом анализаторе 2. Значения столбцов полученной оценки поступают на входы формирователя 3 начальных моментов, где формируются оценки первых двух начальных моментов. Значение первого начального момента поступает на вход цифроаналогового преобразователя 11 и через квадратор 7 - на вход вычи- тателя 8, куда также поступает значение второго начального момента. На один из входов делителя 5 постуг пает непосредственно значение объема выборки, на другой вход - значение объема выборки, уменьшенное на единицу с выхода вычитателя 6. Таким об- ,разом, на выходе умножителя 9 формируется оценка дисперсии, а на выходе блока 10 вычисления квадратного кор-. ня - оценка среднеквадратического отклонения, поступающая на вход цифро-аналогового преобразователя 12. Далее по полученным оценкам первого начального момента и среднеквадратического отклонения осуществляется известная процедура построения оценки закона распределения по информационному методу. 3 ил.

Изобретение относится к вычислительной технике и может использоваться для определения закона распределения при малом числе измерений. Целью изобретения является повьшение точности оценивания закона распределения при малом числе измерений. В устройстве используется двухэтапная процедура оценивания, причем оценки моментов, полученные на первом этапе по ядерной оценке плотности- распределения. Устройство содержит аналоге(Л

1

Устройство относится к вычислительной технике и может использоваться для определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений.

Целью изобретения является повышение точности оценивания закона распределения случайных сигналов при малом числе измерений.

На фиг.1 изображена функциональная схема устройства; на фиг.2 - функци- ойаль ная схема формирователя начальных моментов; на фиг.З функциональная схема блока сравнения формирователя..

Устройство (фиг.О содержит-аналого-цифровой преобразователь 1, статистический анализатор 2, формирователь 3 начальных моментов, делители 4 и 5, вычитатель 6, квадратор 7, вычитатель 8, умножитель 9, блок 10 определения квадратного корня, циф- роаналоговые преобразователи 11 и 12 усилители 13-17, квадраторы 18-21, информационный вход 22, вход 23 задания объема выборки, коммутаторы 24 и 25, ключ 26, блоки 27 и 28 определения обратной величины,умножители 29-34, блоки. 35 и 36 определе-. ния натурального логарифма, элемент НЕ 37, сумматоры 38-41, делитель 42, функциональные преобразователи 43-45, блок 46 вычисления экспоненты, интегратор 47, регистр 48 памяти, генератор 49 линейно изменяющегося напряжения, блоки 50 и 51 сравнения, элементы ИЛИ 52-54, бло.к 55 индикации. Формирователь 3 начальных моментов (фиг.2) содержит блок 56 памяти, блок 57 сравнения, счетчик 58, элемент 59 сравнения, синхронизатор 60, квадратор 61, М элементов И 62, элемент ИЛИ 63, умножители 64-66, сумматоры 67 и 68, (М+1) умножителей 69 и сумматоры 70.

. Блок 57 сравнения формирователя (фиг.З) содержит (М+1) компараторов 71 и М элементов ИПИ-НЕ 72.

Работа устройства основана на совместном использовании двух методов

обработки мало1-о числа измерений - информационного метода и метода последовательной дихотомии (№1Д).

Сущность информационного метода заключается н следующем..

Пусть имеется выСорка независимых наблюдений непрерывной случайной величины X (объем выборки N); далее непрерывная величина X приближенно заменяется дискретной, при этом статистические данные представляются в виде гистограммы с частотой N; (i

1,г). Пусть гистограмме ставится в соответствие теоретическое распределение PJ (i 1,г), Известно, что вероятность получить именно такую гистограмму (именно такую выборку) при данном законе Р оценивается по формуле пйлономинапьного распределения

N - F- Л N; ч

П

1 1

Вероятность q достигает максимума (q 1) в случае, когда значения Р ,- к KOTopbiM стремятся относительные частоты N;/N при , совпадают с теоретическими вероятностями Р; . При этих значениях Р достигает максимума функция (1), которая является пределом

Г -Ilpt-

(1)

Inq/N при

Нахождение оценки закона распределения заключается в определении такой .последовательности Р которая доставляет максимум функции (1) при ограничениях, наложенных на первые моменты распределения (с учетом нормировки):

2

k ч X. V

к

где X - середины интервалов гисто-

граммы, а

статистические оценки первых двух начальных моментов, определяемые непосредственно по выборке

-

(3)

При отсутствии априорных данных о значениях Р; р р ... р -, В этом случае

Г -.fl Р 1пР + С /- I

где С - константа, не зависящая от

Р,и задача сводится к условной макси- 1мизации энтропии распределения fР

Результатом является распределе- ние, наиболее близкое к равномерному из числа допустимых по условиям (2). Такая оценка является наи бол е объективной при имеющейся информации.Она является наиболее вероятной оцен- кой, поскольку интервал изменения случайной величины X ограничен; оценка в обга;ем случае не сводится к нормальному распределению, кривая распределения может принимать любой вид в зависимости от значений оценок моментов, в частности в зависимости от нормированного 1-го момента, вычисляемого по этим оценкам согласно формуле

, А

45

50

Задача оптимизации решается ме- 40 тодом неопределенных множителей Лаг- ранжа. Результатом является единое аппроксимирующее выражение для плотности распределения

Р; ехр |и„ + |U, X, +.

+ (Ujxfy, i TTF ,

и уравнения дпя оценки его неизвестных параметров (ц , ги, , т по значениям оценок моментов.

В устройстве уменьшение дисперсии оценок моментов v, и s достигается за счет использования метода МИД.

Для уменьшения дисперсии,оценок 55 функции (плотности) распределения используются ядерные оценки (Я-оцен- ки) по методу Розенблата-Парзена-На- дарая: при малых N учитывается

514

носителькый, случайный характер каждой i-й реализации случайной величи ны, а в качестве элементарной плотности распределения вместо функции S(X - Х-) используется некоторая непрерывная функция ; (X), заданная на интервале Л; . Однако дисперсия Я-оценок функции (плотности) распределения существенно больше, чем дисперсия оценок, получаемых при использовании информационного метода. Таким образом, в данном случае нет смысла использовать метод Я-оценок непосредственно для оценивания плотности распределения, однако с его помощью можно уменьшить дисперсию оценок моментов,

В устройстве используется двух- этапная процедура оценивания закона распределения. На первом этапе строится -оценка плотности распределения f(X) и по ней вычисляется

00

.

(X) dX.

1,2

: Эти оценки моментов существенно более стабильны, чем оценки, получаемые по формуле (3). Далее эти оценки используются как исходные данные при построении оценки плотности с ПОМОЩЬЮ информационного метода.

Устройство работает cJIeдyюIщ м образом.

Реализации исследуемого случайного сигнала X(t) поступают с выхода аналого-цифрового преобразователя 1 на первый информационный вход статистического анализатора 2. В сттистическом анализаторе 2 формируется оценка плотности распределения случайного сигнала X(t) в виде обобщенной гистограммы, построенной при разбиении интервала анализа а5 Ь на М интервалов аппроксимации. Анализатор 2 имеет, соответственно, М информационных выходов, на каждом из которых присутствует значение hj (j 1,М) высоты соответствующего столбца полученной оценки. Эти значения поступают на входы формирователя начальных моментов 3 (фиг.2) ,

Реализации X;(i 1,N) поступают в блок 56 памяти. По окончании цикла работы статистического анализатора 2 на выходе конца анализа ста

136

тистического анализатора появляется импульс, запускающий синхронизатор 60 и обнуляющий сумматоры 67 и 68 и счетчик 58. Импульсы с выхода синхронизатора 6 поступают на вход разрешения считывания блока 56 памяти, поочередно считывая реализации X; на первые информационные входы каждого из (М+1) компараторов 71 (фиг.З). На второй информационный вход компаратора 71( подается значение а, на второй информационный вход компараd

тора 7L подается значение а + --ги

и т.д.,на второй информационный вход компаратора 71, подается значение

20 а + Таким образом, на вторые

5

0

5

информационные входы компараторов 71 поданы значения границ интервалов аппроксимации. При попадании реализации X; в j-и интервал аппроксимации

(J 1,М) единица появляется только на J-M выходе блока 57 сравнения. Таким образом, блок 57 вьщеляет интервал аппроксимации, в котором находится реализация Xj, Синхронизация работы дискриминатора осуществляет- ся управляющими импульсами с выхода синхронизатора 60. Значение высоты соответствующего столбца оценки через j-й элемент И 62 и элемент ИЛИ 63 поступает на второй информационный вход умножителя 64, на первый информационный вход которого подано

40

значение --М

длины интервала аппро

ксимации. При поступлении на тактовый вход умножителя 64 разрешающего импульса с элемента задержки синхрсЗ- низатора 60 на выходе умножителя 64

формируется значение Р; h;-- J М

площади j-ro столбца оценки, поступающее далее на входы умножителей 65 и 66. По импульсу с синхронизатора 60 на выходе умножителя 66 формируется значение Р,Х;, а на выходе умножителя 65 - значение Р; Х..

Таким образом, по окончании опроа блока памяти 56, на выходе суммаора 67 формируется значение оценки

N

1-ГО начального момента | р. х

ill

а на выходе сумматора 68 - значение

оценки 2-го начального момента -Jj

н 21 Р л. . При поступлении (N+1)

импульса с выхода синхронизатора 60 на счетный вход счетчика 58, на входах элемента 59 сравнения появляется отрицательное рассогласование, приводящее к появлению единицы на его выходе, которая постудает на вход останова синхронизатора 60 и на тактовый вход умножителя 9.

Значение , через квадратор 7 поступает на йход вычитателя 8 и через цифроанапоговый преобразователь 11 - на первый вход первого блока 50 сравнения и на иформационный вход коммутатора 24. На выходе вычитателя 8 формируется значени-е (S), -О, ), поступающее на первый информационный вход умножителя 9, на второй информационный вход которого поступает значение N/(N-1) с выхода делителя 5 На выходе умножителя 9 формируется,

N 1

значение --т ( - , ), которое поступает на вход блока 10 вычисления квадратного корня, с выхода которо

го значение

N

через цифроаналоговый преобразователь 12 поступает на вход усилителя 13 и на информационный вход второго коммутатора 25.

Формула .изобретения

Устройство для определения закона распределения случайной величины, содержащее пять усилителей, четьфе квадратора, два коммутатора, ключ, два блока определения обратной вели- чины, шесть умножителей, два блока определения натурального логарифма, элемент НЕ; четыре сумматора, первый делитель, три функциональных преобразователя, блок вычисления экспоненты, интегратор, регистр памяти, генератор линейно изменяющегося напряжения, два блока сравнения, три элемента ИЛИ и блок индикации, при10

15

20

25

257138

чем выход первого блока сравнения соединен с управляющими входами первого и второго коммутаторов, первый ц выход первого коммутатора соединен с первым .входом первого умножителя и через первый квадратор с первым входом второго умножителя, второй выход первого коммутатора через второй усилитель подключен к входу делимого первого делителя, первый выход второго коммутатора соединен с входами третьего усилителя и .второго квадратора, выход которого соединен через первый блок определения обратной величины с входом четвертого усилителя и вторым входом первого умножителя, выход которого соединен с первым входом первого элемента ИЛИ, второй вход и выход которого соединены соответственно с выходом третьего умножителя и первым входом четвертого умножителя, выход третьего усилителя через последовательно соеди- ненные первый блок определения нату рального логарифма и первый элемент НЕ соединен с первым входом первого сумматора, второй вход которого соединен с выходом второго умножителя, выход первого сумматора соединен с первым входом второго элемента ИЛИ, второй вход и выход которого соединены соответственно с выходом второго cyt iMaTopa и первым входом третьего сумматора, выход четвертого усилителя соединен с вторым входом второго умножителя, выход пятого умножителя и выход четвертого усилителя соединены соответственно с первым и вторым входами третьего элемента ИЛИ, выход которого соединен с первым входом шестого умножителя, второй вьпсод второго коммутатора соединен с входом делителя первого делителя и с входом второго блока определения обратной величины, выход которого рез пятый усилитель соединен с пер- вым входом третьего умножителя, с входом третьего квадратора и входом второго блока определения натурального логарифма, выход которого соединен с первым входом второго сумматора, первый вход пятого умножителя соединен с выходом третьего квадратора, выход первого делителя соединен с входами первого, второго и третьего функциональных преобразователей, выходы которых соединены соответственно с вторым входом второго сумма30

35

40

45

50

55

9,

тора, вторым иходом пятог о умножителя, вторым входом третьего умножителя, выход генератора линейно изменяющегося напряжения соединен с вторым входом четвертого умножителя, с входом четвертого квадратора, с первым входом второго блока сравнения, второй вход которого соединен с входом генератора линейно ю изменяющегося напряжения и подключен к выходу регистра памяти, выход второго блока сравнения соединен с управляющим входом ключа, выход которого через интегратор соединен с 15 входом блока индикации, выход четвертого квадратора соединен с вторьгм входом шестого умножителя, выход которого соединен с первым входом четвертого сумматора, второй вход кото- 20 рого соединен с выходом четвертого умножителя, а выход соединен с вторым входом третьего сумматора, выход которого соединен через блрк вычисления экспоненты с информационным 25 входом ключа, о тлич ающее с я тем, что, с целью повышения точности, в него введены аналого-цифровой преобразователь, вход которого является входом устройства, статистиче- ЗО ский анализатор, второй и третий делители, два вычитателя, пятый квадратор, седьмой умножитель, блок определения квадратного корня, два циф- роаналоговых преобразователя,-форми- gg рователь начальных моментов, содер-- жащий блок памяти,-блок сравнения, счетчик, элемент сравнения, синхронизатор, квадратор, элемент ИЛИ, три умножителя, два сумматора, группу 40 сумматоров, группу умножителей,М (М - натуральное число интервалов аппроксимации) элементов И, причем в формирователе начальных моментов выход блока памяти соединен с инфор- 45 мационным входом блока сравнения, с первым информационным входом первого умножителя и через квадратор с первым информационным входом второго умножителя, второй информаци- gQ онный вход которого соедин ен с вторым информационным входом первого умножителя и с выходом третьего умножителя, первый информационный вход которого соединен с первыми входами gg умножителей г руппы, второй вход j-ro (j 1, 2 ... THl) умножителя группы соединен с тиной потенциала, равного J-1, выход j-ro умножителя со1Д 2 5 7 ГЗш

единен с первым входом j-ro сумматора группы, второй вход которого является соответствующим входом задания значения нижней границы интервала анализа устройства, выход j-ro сумматора группы соединен с j-м входом задания порога сравнения блока сравнения, вход установки в О счетчика соединен с входом запуска синхронизатора, с входами установки в О первого и второго сумматоров, выход счетчика соединен с первым входом элемента сравнения, выход Меньше которого соединен с входом оста«- нова синхронизатора, первый выход синхронизатора соединен с входом запуска счетчика, с входом разрешения считывания блока памяти и тактовым входом блока сравнения, i-й (i 1, 2 ... М),выход которого соединен с первым входом i-ro элемента И, выход, которого соединен с i-м входом элемента ИЛИ, выход которого соединен с вторым информационным входом третьего умножителя, тактовый вход которого соединен с вторым выходом синхронизатора, третий выход которого соединен с тактовыми входами первого И второго умножителей, выход аналого-цифрового преобразователя соединен с информационным входом статистического анализатора и с инфор- мационны{4 входом блока памяти форми- рователя начальных моментов, вход задания объема выборки статистического анализатора соединен с вторым входом элемента сравнения формирователя Hq- чальных моментов, с входом делимого второго делителя с входом уменьшаемого первого вычитателя и является входом задания объема выборки устройства, выход вычитаемого первого вычитателя соединен с шиной единичного потенциала, а выход с входом делителя второго делителя, вход задания интервала анализа статистического анализатора соединен с входом делимого третьего делителя и является входом задания интервала анализа устройства, вход делителя третьего делителя является входом задания числа интервалов аппроксимации устройства, выход третьего делителя соединен с первым информационным входом третьего умножителя формирователя начальных моментов, выход i-ro значения гистограммы статистического анализатора соединен с вторым входом i-ro элемента И формирователя начальных моментов, выход Окончание анализа статистического анализатора соединен с входом установки в счетчика формирователя начальных моментов, выход первого сумматора формирователя начальных моментов соединен с входом п.ервого цифроаналогового преобразователя и через пятый квадратор с входом вьмитаемого второго вычитателя, вход уменьшаемого которого соединен с выходом второго сумматора формирователя начальных моментов, выход- второго вычитателя соединен с первым информационньш входом седьмого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго

С упр. Выхода

ста тис. анал -ра 2 Н

Ацт

С инсрорм-у. Выходоё , статистич- анализотороо

Фиг. 2

делителя, тактовый вход седьмого умножителя соединен с выходом Равно элемента сравнения формирователя начальных моментов, выход седьмо-

го умножителя через блок определения

квадратного корня соединен с входом второго цифроаналогового преобразователя, выход которого соединен с информационным входом второго коммутатора и с входом первого усилителя, выход которого соединен с первым входом первого блока сравнения, выход первого цифроаналогового преобразователя соединен с вторым входом пер

вого блока сравнения и с информационным входом первого коммутатора.

выход

Уг

Фиг. З