Устройство для моделирования систем линейных уравнений и неравенств Советский патент 1978 года по МПК G06G3/00 

Устройство для моделирозак ш систем линейных уравнений и неравенств содержит съемный цилиндрический «корпус /, распределительный элемент 2, выполненный в виде цилиндра с наружными Кольцевымк -каиавками, с набором -шарнирно закрепленных на нем раздвижных стержней 3, несущих каретки 4 с втул.ками 5, и основание 6, в котором укреплены регулировочные элементы 7. Между наружными кольцевыми .канавками раслр.еделительного элемента 2 и втулками 5 .кареток раз-несень нер.астяжкмые нити 5, имитирующие заданные линецн1):е функции. Нити 8 лсступают на устройство с катушки 9, выполненной из набора совмг-щгнных шлулек с фиксаторами, через блок 10 с-:гТЧиков длин нитей.

Съемный цилиндричеокий корпус / имеет на боковой поверхности гаправляющие элементы, выполненные в виде одинаковых продольных прорезей. ГЪо.рези, сквозные снизу, служат для направления .перемещаемых в них кареток 4, для чего боковые стенки прорезей по всей рабочей длине Е .меют 1пазы // лод кром.ки ;планок кареток. Вдоль прорезей корпуса помещены щкалы 12, градуированные з значениях секансов углов азворота раздви;-;;ных стержней 3 (фиг. 2). Шкалы вы-полнены накладными с возможностью их смещения вдоль прорезей посредством .фиксируемых на кром,ках .последних планок 13. В прорезях вставлены та.кже верхние и нижние лереставные огранич11тели 14 перемещения кареток. Верхняя часть съемного цилиндрического корпуса имеет коробчатую выемку 15, служащую вместилищелг катущки 9 и блока 10 счетчиков при переноске устройства. КатуЩ(Ка и блок счетчи1ков укреплены на планках 16, выдвигаемых в рабочее положение из лазов выемки 15 и фиксируемых в нем откидными упорами 17. Центральное отверстие в .днище выемки 15 служит для подачи через него нитей на распределительный элемент. Нити поступают через центральный канал распределительного элемента и отверстия 18 з наружные кольцевые канавки.

С основанием солряжен набор секторных призм 19, несущих на верхних своих торцах петли плоских шар.нлрав 20, размещен.ные радиально. В щарнирах 20 укреплены на осях концевые звенья раздвижных стержней 3. При подъеме жаретки ло орорези стержень телескопически раздвигается. По достижении определенной длины раздвижной стержень наращивается опусканием в трубку вставного звена 21.

Каретка имеет окно, в котором помещена втул1ка 5 с наружными кольцезыми «анавками .для нитей 8. .Втулка свободно вращается на горизонтальной оси 22 в ллоакости каретки. Фиксация каретки 4 на определенной высоте в -прорези осуществляется фиксатором, состоящим из Г-образных лапок 23, вставленных в вырезы (Планки каретки и разжатых пружиной 24. Для считывания показаний со

шкал /2 на -планках карето-к и;-у1е:отся указатели.

О-снование 6 предста.зля.гт собой круглый, Г:П диаметру съемного цилиндри-ческо-о -корлуса, фланец с наружным б ртом, кольцевым пазом и центральным .патрубком пол набор регулировочных элементов 7 (винтов). Винты 7 проходят через «-рышку патрубка в резьбовые гнезда в призмах 19. Выворачивание из основания винтов 7 предотвращено съемным кольцом 25 с отверстиями, совпадающими с г-ол.озкам.и винтов, но меньшими диаметра головок. При поворотах отверткой, вставленной в щлиц головжи винта, винт .поднимает секторную лризлту 19, несущую шарнир 20. Это необходимо для регулиров.кг; исходного гор гзонтального положения раздвижных стержней 3, обеспечивающих параллельное относительно стержней или близкое .к нему лоложеКие участков нитей между распределительным зле ментом -и втулка.ми.

В положении для транспортировки все устройство в сборе помещается в цилиндричеСлий футляр с уч1кой, что при небольшо.м в-гсе .делает его транспортабельным.

Работает устройство следующи л; образом.

Для -моделирования системы т линейных

уравнений с п неизвестнь -.т;1 . fi;;A:; &b где

i, 2, ... , т; , 2,п; а;.; и 5,- - постоянные; Xj -- переменные, используются т нитей, разнесенных каждая заранее в соответствии с заданными 1кон.кретными уравнениями между п (каретками 4 и элементом 2. Каждая

из кареток соответствует одному .из леременных.

На -каждой каретке .-может имитироваться до т различных коэффициентов ац ери одном и том же переменном Л;, входящем в различные уравнения системы: Q,-., OO/Q.

ijo

(во все т уравнений или только в часть из них).

в общел случае каждая единица «оэффициента Й1д,д при переменных XJQ имитирована двумя участками нити между элементом 2 и втуякой 5; нить, тоступающая с :кольцевой «анав1ки элемента 2, подана .на втулку 3, сгибает ее по 1кольцевой .канавке и -поступает далее

в .другую .кольцевую -канавку элемента. Для целочисленных коэффициентов, не равных единице, ,, - целое, тайсие огибания повторены /С раз, причем три 1каждо.м из огибаний нитью заполняются 1последую.щие «ольцевые канавки втулки 5 и кольцевые канавки элемента 2. После огибания очередной -канавки элемента 2 нить /поступает на следующую втулку 5 для и:мита.цин на ней коэффициента при следующем переменном, входящем в это

же уравнение системы.

Таким образом, одной «итью обнесены все п втулок 5, соответствующие переменным, входящим .в дашн.ое уравнение; оба конца нити поданы па втулку элемента 2. Другие нити,

соответствующие другим уравнениям заданной системы, таким же ооразом разнесены между 1кольцевыми «анс з.камп элемента 2 и соответствующих втулок 5. Все имитируемые на устройстве коэффициенты должны соотноситься между собой ка.к небольшие числа.

При наличии |больших или меньших единицы значений «оэ.ффициеитов в системе уравнений за общую единицу масштаба участков н-итей может быть взята и не 1, а, например, 2, 3 или 0,1 и т. д. Это соответственно требует замены шкал 12 на кратные.

При единичном масштабе моделирования коэффициентов имитация нитями отдельных уравнений на устройстве может быть упрощена: если заданные или приведенные « целочисленным коэффициенты уравнения содержат не более двух нечетных, а остальные - четные, то едини-ца каждого коэффициента этого уравнения имитируется лишь одним участком нити: втулка 5 - элемент 2. В случае одного нечетного коэффициента среди остальных четных и целочисленных .конец соответствующе: нити закреплен на каретке, отвечающей переменному с нечетным коэффициентом (с этой карехки начато или на ней закончено раз::есение нити).

Общая длина участвующих в имитации .уравнения участков нити соответствует сумме его сла1гаемых и равна заданной постоянной уравнения (непосредственно или в оцределеннам масшта.бе) bi. Эта длина не равна нити, (разнесенной на устройстве, к ней добавляются постоянные ло длине участки нити, огибающие элемент 2 и втулку 5 ino их кольцевым канавкам. Дополнительные для каждого из уравнений длины нитей 8 введены на устройство заранее. Они вычисляются по известным диаметрОМ кольцевых каяваок ;втулок, длинам огибаемых участков, числу огиба,ний и толщи.не нити.

Для имитации входящих в систему уравнений, имеющих коэффициенты разного

ка, 21 V . и AV -0 вместо одной

У 1; fc-rl

использованы две нити. Каждая из нитей, соответствующая группам коэффициентов со знаком плюс и минус, разнесена между элементом 2 и (карехками описанным выше образом, а Д1ежду ними обеспечена разность участвующих в имитации длин, равная величине Ъ Пр-j этом ходовые концы обеих нитей обязательно поступают с и могут надергиваться на устройство или стягиваться с него лишь совместно, т. е. на одинаковую длину. Возмо:Хность упрощения имитации при единичном масштабе уменьшается при этом до наличия одного нечетного коэффициента.

Имитация на устройстве отдельных неравенств имеет ряд особенностей, а маделировакие и решение задач линейного .программирование предусматривает использование блока 10 счетчиков длин нитей.

Если имитировано неравенство вида «меньше или равно aiXi + a2X2 + -. . +

5,-о, то рабочая длина нити взята равной Вс.лмчпке Ь.-д, но 3 процессе операций нить может оставаться ненатянутой. Если имитироваР:0 неравенство вида «больше или равно aiXi + a2X2 +.. . +a,jA,, &/Q, то нить взята равной по длине .величине &,-д, но обязательно должна иметь ходовой конец, -которым она с элемента 2 подана на катушку 9 и может потравливаться с нее в процессе операций.

Аналогично, если имитируемая функция задана двусторонним неравенством

5;0 (uiXj + +й„Х„) Ь; р,

н:-;ть взята дл:-1нпй, равной Ь.-р, а в процессе

опер.аций может потравливаться до длины bi (или, нзоборот, стягиваться от й/, до Ьо)Для имитации неравенств, имеющих -коэффициенты разного знака, используются две нити, каждой из которых имитированы группы слагаемых одного знака, а разность между дл:. этих двух нитей в процессе операций со.ра:1яется большей (или меньшей) заданной постоянной.

Нить, имитирующая минимизируемую или максимизируемую линейную форму, обязательно подана ходовым концом с элемента 2 через блок W счетчиков на катушку 9.

Входяндие в математическую модель зада41 линейного программирования ограничения переменных могут быть односторонними или двусторонними

d: :.V; -- d:-.

.V/ и;, .V; ilj ,

где Ml. 2, .... п.

Неравные нулю пределы изменения переменных имитируются на устройстве установкой соответствующих ограничителей 14 .по шкалам 12.

Относительные ограничения переменных типа

.Tt Л/ или Л i.: или

Ai - Х, и -V /Л-/ ,

где 0, имитируются соответствующими перемещениями ограничителей 14 в процессе операц;1Й на устройстве.

Для задания положений всех шарниров 20, обеспечивающих параллельность участков нитей соответствующим стержням 3, регулируют 20 по высоте, ввертывая регулировочные элементы - винты 7 в секторные призмы 19.

Поднимаемые секторные призмы 19 соединены с установленными в прорезях корпуса . планками J3 в основаниях шкал 12. Поэтому при регулировке высоты шарниров 20 одновременно смещаются на корпусе и шкалы 12, отвечающие тем же переменным. Стерл ни 3, опирающиеся внешними концами на планки

13, в отрегулированных исходных положениях параллельны основанию 6, находясь кг различной над ним -высоте. Приступают к моделированию заданной системы линейных уравнений

(;

aijXj bi; , 2, . . ., m; / , 2, . . .. г..

/-

Решению системы уравнений отвечает положение всех п 1кареток в -ирорезях «орпуса /, ири котором все т нитей (Ji, iz ..., Im) о казываЕОтся натянутыми. Считываемые -по шс-зла;м 12 положения «ареток /ь /о, , In соответствуют искомым переменным Xi, х, . . ., А--;,.

Характер математической модели задачи линейного программирования существенно влияет на приемы, используемые при решении на устройстве. Процесс решения МОжет быть разделен на реализацию системы ограничений задачи, когда реализуются физическая модель условий в соответствии с заданной математической моделью и 1получают допустимый план решения, и на опти:мизацию- допустимого -плана, т. е. получение окончательного решения.

При реализации системы ограни/чений осуществляют одновременное натяжение всех китей ограничений, соответствуюш.их равенствам и неравенствам вида «больше или равно. Этого достигают при уже натянутых подъемом .кареток одной или нескольких таких нитях, встречными .иеремеш.ениями кареток: одну (или несколько) из поднятых в 1прорезях кареток опускают, .а другую каретку (или несколько других) при этом поднимают. Следует начинать реализацию с функций, имеющих меньшее число переменных и меньшие величины заданных постоянных в правой части. Нить, имитируюш,ая линейную форму, при этоМ не закреплена.

Оптимизацию допусти1мого плана осуществляют та1кже BiCTipeiM.HbiMH перемещевиям.и .кареток, перетягивая уже «атя.Еутые и«т1и таинм об.разо,м, чтобы реализованная система огратаиченяй со.хранялась, а длина тит.и, им.итирующей ли-нейную форм.у, убывала или возрастала 3 соответстиии с 1решаемой задачей. Определяемому минимуму лилейной формы отвечает наименьшая длина таити, .И|рующей линейную форму, а апределяемаму малсскмуму - ее наибольшая длина. По дости жени.и полол авий считывают длины нитей по кчетчика.м бл.о|ка 10, а значения переменных-со шкал 12.

Пр.имар. Требуется минимизировать линейную фор1му

L 840л: 1 + 840.V, 360;Сз.+ 46л-.1 -- min при фупкцко ;альнь х ограличаниях

4..-Сз -Ь 2.:.j 100 - нить i,,

5х, 4- Зх., + 160 - нить i.,

2., -г А , + 5л-., |- 4Xj 2Ю - нпть i,,

х... 40 -HHTbi.i,

4х.. 4 5.Xj 294 - нить 1,.

Решение. Реализация СИсте.мы ограничений 0|оеспечизается подъемам каретки /з на величину - натягиваются iBce нити при избытках 1ИХ длин 220((i), 160(i3), 120{u) u 5 26(5). Мини шзации соответствует встречное перемещение кареток /з и /ь дающее набор переменных , А-2 0, .3 47,5, при избытках длин нитей 103(tl); 23,5 (/3); 55 (и) и KCiKOMOM 1М1И.ни.муме L i28020.

О Задачи линейного програм..мирования малой размерности, связанные с производственно-хозяйственной деятельностью небольших предприятий и организаций, решаются обычно вручную. Постановка и необходимо.сть их решбнИЯ часто связаны с периодичностью планИР01ва1ния, сезонностью , получением заданий. Предлагаемое устройство восполняет пробел В оснащек Ю СТ1И средства.ми механизации з этой части, расщ.И1ряя круг решаемых задач по

числу л.к,нейных функций и по числу переменных (до неокольких десятко.в). Оно ускоряет гюоцеос решения в ора.внении с расчетным - огпада.ет необходимость В большо|М объеме выч.ислан11 й, в за1П1иси и переза1п.и.ои итерационных

таблиц. Процесс решения обеспечивается н.аглядной и точной физической моделью, возможностью вносить из.менения в условия задачи по ходу рещени;Я и исключает возможность . 3 конечном результате. Устройство

1-:о;чпа: т.но по 1конст1рукц-ии, использует дешевые средства, тра1нспортабсльно н -ке за-висит от Э:не|р гет. .источ,нпков питания.

Фор м у .л а изобретения

УсТ)ройств.о для моделирования систем лл;-:ей.ных урав1неНИЙ 1И неравенств, содержащее кз аравляющие элементы по числу неизвестных, распределитатьный элемент, вьшолненкь;й в виде цилиндра-с наружными кольцезыни ка1на1зкаа1и, раЗ|Движные стержни, шарнирно закре1пл.енные на ра.сп|рбдбдительном элеИ.знте 1И соод1иняющ.ие 1последний с каждым из

нагаравляющих алементав, 1каретки, пе|рвмещаемь№ (поцрадством раздвижных стержней, уста: :01в;лен1ные на 1на1прав, элементах и несущие саободно вращающиеся втулки с нар)-жиыми КОЛыцевы.ми 1канав:ками, оси :кото1рых

располос-пены в пЛОскости кареток, и НерастяjKHiMbie НГЛТ1И, разнесенные в соответстЕни с заданны уТ1и лИНейным.н функциями между на-, ружньпми кольцевьсм.и канавками (ра спределительноро элемента и втулкам.и кареток, от ли а ьэ щеес я тем, что, с целью улучшения экс:плуата|Ц|И01Н;кых ха|ра:к)терИСТ1ИК, оно Содержит съемный Ц|ЯЛ1И.Н|Др.ический корпус с продольными :нап1равляющи.ми прО|рез Я1МИ, в ко:торых расположены «ареткИ, .шкалы, установленные на

съемно;м :ЦИл.и.ндрическом корпусе с Возмо жностьЕО Смещени.я вдоль прорезей, ос.новаи.ие, ояа KOTiopOM ooOiOHO расположены съем.ный цилиндричеокий .корпус и распределительный элемент, и укре1п.ленные в основании рерпул1}:ровоч:ные

элементы, механически связанные с шарнирами, соединяющи.м,и раздв-ижные стержни с распределительным элементом. HCT.OvK.EKTi инфо|р-Л1ацИ|И, лр.ИНятые во вне;маше яря экопертизе:5 1. Авторское свидетельство ДГа 4005 L кл. G 06 G 3/00, 1932. 2. Азторское свгадетельство 214823, кл. В 43 L 11/00, 1&66.

А-л

и.3