Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений Советский патент 1934 года по МПК G06G7/34 

В многочисленных научных и технических задачах приходится иметь дело с решением системы линейных алгебраических уравнений, позволяющей вычислить п неизвестных из п соотношений, которым эти неизвестные удовлетворяют. Широкой областью применения этой системы является расчет статически неопределимых конструкций, при котором число неизвестных часто доходит до 1-2 десятков. Но и кроме расчета статически неопределимых конструкций система линейных алгебраических уравнений играет большую роль в теории точного и приближенного интегрирования диференциальных уравнений, в решении интегральных уравнений, в теоретической физике и др.

Несмотря на важную роль, которую играет вышеуказанная система в практических вычислениях, до сих пор не имеется достаточно простых методов ее решения Теория решения этой системы хорошо разработана, причем обнаруживается, что простых и быстрых способов решения не может быть. Поэтому приобретают особенно важную роль различные приближенные и механические способы решения.

Одним из наиболее распространенных методов решения является метод по(5ЛО)

следовательных приближений. Теория этого метода исчерпываюше изложена в статье: R. V. Mises tind PullaczeckGeiringer. Praktische Verfahren der Gleichungsauflosung. „Zeitshrift fur angewandte M ithematik und Mechanik 1929 г., Bd. 9, Seite 58-77 und 152-164.

Метод заключается в следу юшем. Пусть дана система линейных уравнений:

, + В,,,0.

Л 1 + 3 + Л Ол 14--Вз «2 + з ОЗадаются сначала некоторыми произвольными значениями неизвестных х, х и т. д. Подставляют эти значения в первое уравнение. Это ура внение, вообще говоря, произвольными значениями неизвестных не удовлетворяется. Изменяют «1 до тех пор, пока первое уравнение удовлетворится. Это будет, очевидно, при значении arj,

вычисляемом из выражения:

, 5, дгз + Л

- Т,

Найденное значение srp .а также значения 3 Д- принятые первоначально, подставляют во 2-ое уравне, ние. Из него находят первое приближение для по формуле:

А х + С х + 72

X 2 - -

йо

Первые приближения х, х и принятые первоначально значения для «3, х и т. д. подставляют в 3-е уравнение. Из него находят первое приближение для Ху Так продолжают до тех пор, пока не обойдут всю систему. В результате получают систему первых приближений для неизвестных a/j, а/2, жз . . . С этой системой повторяют то же самое, что и с первоначально принятой системой, т. е. опять обходят все уравнения и получают вторые приближения для неизвестных: , ж 2, и т. д. С этими вторыми приближениями проделывают то же самое, что и с первыми получают третьи приближения «2) Эту операцию продолжают до тех пор, пока поправки, вносимые в значения неизвестных, не сделаются достаточно малыми. Полученную систему приближенных значений для неизвестных приниг ают за решение заданной системы уравнений.

Таким путем, как показывает теория, можно всегда получить решение системы уравнений при обязательном, однако, условии: диагональные члены А, В С и т. д. должны быть больше остальных членов. Этому условию всегда удовлетворяют уравнения, имеюш,ие место при расчете статически неопределимых конструкций. Кроме того, как показал. R. V. Mises в вышеуказанной статье, и произвольную систему уравнений всегда можно превратить в систему, имеющую диагональные коэфициенты, превосходящие по величине остальные коэфициенты уравнений. Таким образом, этот метод, вообще говоря, оказывается приложимым к любой системе уравнений.

Предлагаемый прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом послвдоватальных приближений обоснован на соотношениях, имеющих место при распре дедении потенциала вдоль проводов при прохождении электрического тока.

На чертеже изображена схема прибора.

Пусть I, I-провода, между которыми имеется разность потенциалов V А, А, А и т. д., представляют собою катушки с большим сопровивлением, соединенные проводами, обладающими малым сопротивлением, с обоими подводящими ток проводами I 1, Очевидно, разность потенциалов на концах этих катушек также равна V. Середина каждой из катушек соединена с одним концом катущки X соотвётветствующей первому неизвестному, в то время как второй конец катушки Х может быть соединен с одним из подвижных контактов т, двигающихся по катушкам А, А,, Лд и т. д. Пусть катушка -Yj соединена с катушкой А Если длина катущки А равна а, а подвижной кон-акт сдвинут по отношению к середине катушки на величину я, то разность потенциалов между серединой катушки (неподвижным контактом) и подвижным контактом будет

о;,

равна V-. Эта разность потенциалов

будет, очевидно, и на конЦах катущки Х. Если длина этой катущки равна а, а подвижный контакт сдвинут по отнощению к неподвижному на величину 1, то разность потенциалов между подвижным и неподвижным контактами будет равна ., (а, ,). Если

подвижный и неподвижный кантакт катушки Х соединить с гальванометром, то стрелка последнего отклонится на величину, пропорциональную -j- (« j).

Пусть гальванометр имеет несколько параллельных обмоток. Соединив катущку J5j с -STj и отложив на первой катущке величину |3р а на второй 2 получают разность потенциалов между подвижным и неподвижным контактами на катущке Х, равную 2 () У- Очевидно,

если 9tH KOfltaKfиСбейинйть-со втброй параллельной обмоткой гальванометра, то стрелка последнего отклонится на величину, пропорциональную -- (р ,).

Если проделать то же самое с катушками Cj и Ху, то получат отклонение стрелки гальванометра на величину,

пропорциональную - (TI 3)- Если предположить что подвижной контакт катушки Д, сдвинут по отношению к неподвижному на величину 8, и оба эти контакта соединены с очередной параллельной обмоткой гальванометра непосредственно, то стрелка гальванометра

должна отклониться на величину -3j.

Отклонение стрелки гальванометра, вызванное всеми вышеуказанными причинами, будет про орционально выражению:

(«lEi + P, 52 + Т,1з+«8,).

Если подобрать j На так, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю, то, очевидно, эти величины будут удовлетворять уравнению:

«i5i + + + o8i 0.

Если отложить oij, р, 7} и 1 так, чтобы они в некотором масштабе изображали коэфициенты и свободный член A, Б, 0, Л, первого уравнения, то величины 1 2 2 будут соответствовать неизвестным в заданной системе уравнеНИИ. При произвольных значениях величин 2 3 можно, очевидно, добиться

того, чтобы суммарный ток в гальванометре сделался равным нулю, путем перемещения контакта на катушке Х т. е. изменения . Присоединяют, далее, катушки Х, Х. Х . к катушкам AV 2 С , . . . ., на которых отложены коэфициенты 2-го уравнения. Путем перемещения контакта катушки Л добиваются того, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю. Это будет соответствовать соотношению:

«2 2+ 2t+va -b«s2 oЭту операцию повторяют до тех Пор , пока присоединение к гальванометру любого уравнения не (дет вызывать никакого тока, т. е. стрелка будет оставаться в покое- Найденные таким образом величины 1 2 3 будут давать в некотором масштабе значения неизвестных, удовлетворяющие заданной системе уравнений. Чтобы получить численную величину неизвестных х, х х

надо величины умножить на некоторую постоянную, которая, очевидно, может быть для прибора определена заранее.

Для успешности работы прибора необходимо, чтобы сопротивление проводов, подводящих ток к катушкам, было очень малым (доли процента от сопротивления катушек), сопротивление же каждой обмотки гальванометра должно быть достаточно большим-в несколько раз больше сопротивления катушек. При несоблюдении второго из этих условий может случиться, что приключение гальванометра вызовет перераспределение потенциала на катушках Aj, А ,, Аз- что приведет к неверным показаниям Оба требуемые условия могут быть легко выполнены.

По опытам изобретателя в качестве сопротивления лучше брать не катушки, а голый провод, который можно согнуть в виде спирали, и подвижной контакт приводить в движение вдоль этой спирали вращением рукоятки. Такая катушка займет очень мало места и прибор можно будет сделать достаточно компактным.

Сопротивление же каждой обмотки гальванометра надо довести до 200- 250 ом. Гальванометр должен быть сделан с вращающимся магнитом и постоянными катушками, так как вращающаяся катушка в данном случае должна бы иметь несколько параллельных обмоток, что неудобно для конструктивного осуществления.

Предмет изобретения.

Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений, отличающийся применением некоторого числа групп одинаковых, включенных

параллельно в зле1Лричвскую сеть I, I сопротивлений А, А, А . . ,, В, В

БЗ , Cji Cg, Од .... средние точки которых в каждой группе присоединены к началу таких же сопротивлений Aj, 2 -л концы коих через переключатели присоединены к подвижным контактам сопротивлений Л, А..., В, В , , ., С, С . , ,, причем средние точки сопротивлений j, Х Х . . ., в свою очередь, соединены каждая с началом соответствующей обмотки гальванометра с несколькими обмотками, концы которых соединены с соответствующим контактом 7 сопротивлений Xj, Х, Х . ., каковые сопротивления А, J.2, Лз . . ., В, By 3 .

А у 3 служат для явяучениш на концах сопротивлений Aj, Х., Х..,

разностей потенциалов, пропорциональных коэфициентам при неизвестных, а СО:противления Х, Х, Х . . .-для отыскания величин разностей потенциалов, пропорциональных неизвестным уравнений, при пользовании добавочным рядом включенных параллельно же в сеть сопротивлений Д, Д, Л средние точки и подвижные контакты т которых соединены через переключатель с отдельной обмоткой того же гальванометра и которые служат для приложения к обмотке гальванометра разностей потенциалов, пропорциональных свободным членам уравнений.

Lfd i I 1я I

Сз

Сг

vvWVVvvs:,vv VvV

-I

-е.