Предлагаемый прибор предназначен для интегрирования уравнения Лапласа, имеющего, как известно, вид
(О дх Г с132
где X, и у-координаты точек плоскости, а и-значение функции в этих точках.
Прибор, согласно изобретению, состоит из параллельно друг другу расположенных зубчатых реек, помещенных в направляющих, и связанных между собой шестеренками, укрепленными в вырезах реек.
На фиг. 1 чертежа изображена одна из реек, на фиг. 2-вид устройства в плане.
Как видно из фиг. 1 и 2, в вырезе каждой из реек Р укреплена на оси щестеренка S, сцепляющаяся с двумя соседними зубчатыми рейками. Для сохранения взаимного расположения и параллельности реек они помещены в направляющих, не показанных на чертеже.
Действие устройства может быть пояснено, если уравнение
62У , r53t/
преобразовать путем замены бесконечно малых конечными разностями.
Тогда вместо вторых частных производных следует ввести вторые разности функции 6 по -х и у, положив приращения координат одинаковыми, например, Дл 1. Пусть в некоторой точке плоскости с координатами х т и у п значение функции и будет Urn,, а в точке с координатами т-,п она равна Um + ,,,. Тогда выражение для второй разности функции и, взятой по направлению оси X, можно представить в следующем виде
х и Urn +1, - 2 Urn, п Um-l, пАналогично вторая разность по направлению оси Y
у и Urn, I + 1 2 Um, п Urn, n - 1.
Подстановка этих выражений в уравнение Лапласа, переписанное в конечных разностях
,
сразу дает
/т-1-1,, п-1 I ш-1, ,11+1 т г
Urn, li.
Это выражение показывает, что значение функции и в точке (jn, п) должно равняться среднему арифметическому из значений функции в вершинах квадрата,;,в центре которого находится точка (т, п).
В описанном выше приборе перемещения любых четырех реек, лежащих в вершинах квадрата, вызывают перемещение находящейся между ними рейки, удовлетворяющее этому условию. Следовательно предлагаемый механизм может служить для приближенного решения уравнения Лапласа. Для этого нужно установить рейки, расположенные на ограничивающем контуре, соответственно значениям функции и на этом контуре. Все остальные расположенные внутри контура рейки при этом установятся соответственно значениям U в точках,
где расположены рейки. Снабдив рейки шкалами с нониусом, можно с требуемой точностью определить их перемещения и, следовательно, найти значения и во всех точках плоскости XY при заданных значениях U на контуре.
Предмет изобретения.
Прибор для интегрирования уравнений Лапласа, отличающийся применением параллельно друг другу расположенных зубчатых реек Р, перемещающихся в направляющих, нормальных к плоскости, в которой расположена область интегрируемой функции, и связанных между собой шестеренками S, расположенными в их вырезах.
Шиг
ЙИГ2
