где , С12 . -1„ - некоторые и,, . . . С1„ равны А.А„ 1Л i Я, т AH.-Z
откуда
в чем легко убедиться подстановкой. Если представить себе систему, имеющую п степеней свободы, определяе(2)
Л
мую параметрами ср, cf, 9«-iзависимость между которыми задана приведенной выше системой уравненовые переменные, а коэфициенты с, А„.4,, /1о«1 2- «НИИ, то уравнение (1) будет диференциальным уравнением движения элемента этой системы, положение которого определяется параметром ср. Если установить систему в положение, соответствующее значениям 9 0 fi (,,) 9(-10) В начальный момент времени t 0, а затем привести ее в действие, то запись значений параметра ср даст решение уравнения (1).
На фиг. 1 представлен механизм с четырьмя степенями свободы для решения диференциальных уравнений четвертой степени без свободного члена. На фиг. 2 и 3 изображены детали механизма, позволяющие рещать уравнения со свободным членом. Детали прибора, изображенные на фиг. 4 и 5, позволяют решение еще более сложных уравнений. На фиг. 6 показан вариант прибора, согласно изобретению, с несколько иным устройством фрикционных передач.
Механизм, изображенный на фиг. 1, состоит из фрикционных передач I- И-III-IV, число которых соответствует порядку решаемого уравнения п 4, связанных системой тяг 7j . . . /у и рычагов .5j-Jjy. Положение механизма определяется параметрами , cpj, fa и ера, из которых три последних представляют собой относительные смещения центров дисков трения 4IY по отношению к дискам трения 5|-5,у фрикционных передач, а параметр а есть относительное смещение тяги /J. Зависимости ср flicpi,
Язсрз. a-fa з ствляются с помощью передач, состоящих соответственно из винтовых передач 2| - 2|у , дисков трения 5,-3, и и осей 6j-5|у, имеющих приводы от мотора Ж, осуществленные с помощью зубчатых колес и фрикционных передач с дисками - и щайбами 7|-7|у.. Передаточные числа этих приводов устанавливаются смещением шайб 7|-7jy по отношению к дискам трения 6,-5| с помощью винтов //,-//|у в зависимости от значений коэфициентов а, а, а,, и a, вычисляемых по уравнениям (2).
Диски трения , приводимые во вращение осями б,- 6, , вместе с червячными парами (9, заключены в корпуса, которые связаны жестко с тягами 1 - 7у и могут поступательно перемещаться в подшипниках, для чего предусмотрена возможность скольжения червяков червячных пар /О,- /(|у вдоль осей 6 - б.у. Зависимость ср -f- i + cpg + срз -(- ср О осуществляется системой рычагов 3, - 5|у., закрепленных шарнирно в точках , имеющих неподвижную точку о и соединенных между собой тягами. Значение параметра ее, дающего решение диференциального уравнения, записывается на ленте, приводимой в движение от мотора М. Кроме того могут быть записаны и другие параметры, например, cci и cs2. пропорциональные значениям производных ср и ср . В частном случае при исс.чедованйи диференциального уравнения движения системы регулирования двигателя эти параметры С5, ccj, и ср2 в некотором масштабе могут означать относительное изменение ср числа оборотов двигателя и относительное открытие регулирующего органа и. и золотника а. Действительно, между этими величинами при известных условиях существуют зависимости
/Н-3
-,
где Т, р-постоянные величины. Дополнительные зависимости между этими и другими параметрами системы регулирования приводят к диференциальному уравнению движения системы, которое может быть составлено относительно функции ср (см. Курс регулирования машин проф. Е. Л. Николаи). Если теперь положить, что
1 . 1
/ь.
Ь
Р- 9i Ч, Ъ 2, Г
г,
где /1 и 4-постоянные коэфициенты, то из предыдущих уравнений можно получить
fib,Cpj /b2Cp.2 Jg,
Т. е. зависимости, аналогичные тем, которые осуществляются прибором по фиг 1. Пользование прибором должно происходить следующим образом: 1)устанавливают коэфициенты а, «2, «3 И flj, вычисленные по коэфициентам основного уравнения, 2)с помощью маховиков 72| ... /2, устанавливают значения cij s- г.. Ри 0, 3)механизм приводят в действие пуском мотора или вручную вращением валика 9. Если привод к ленте, на которой производится запись, осуществлен, как показано на фиг. 1, от того же валика, что и системы фрикционных передач, то правильные решения будут получены даже при переменной скорости вращения приводного вала 9. В том случае, если в основном уравнении (1) отсутствует одна или несколько производных, то для его рещения необходимо закрепить соответствующие точки рычагов 5, для чего на приборе должно быть предусмотрено специальное устройство; кроме того, необходимо разобщить соответствующую тягу /, если в уравнеНИИ отсутствуют члены не высшего порядка. Для рещения уравнений со свободным членом вида следует в одну из тяг, соответствующих в приборе по фиг. 1 тягам 7, ... /У включить стяжку, имеющую двустороннюю резьбу (фиг. 2), чтобы с помощью маховика 14 производить изменение длины данной тяги. Изме. V нение ее на величину А -т- соответствует включению в диференциальное уравнение свободного члена. Кроме того эта стяжка может служить для регулировки механизма и нахождения длины тяги для случая . При этом диски передач I-IV должны находиться в среднем положении и длительное вращение мотора М не должно выводить систему, из равновесного положения, если при началь1ной установке механизма были соблюдены критерии Гурвица. Прибор по фиг. 1 в сочетании с механизмом по фиг. 2 позволяет с большим удобством производить расчеты и исследования различных схем регулирования. Как известно, закон движения регулирующего органа меняется в зависимости от величины открытия золотника. При малых открытиях можно принять, так называемое, уравнение сервомотора в вип,е j, ,,у- и при открытиях золотника в виде ,j--ITL Г Это обстоятельство приводит к тому, ч го во время процесса меняется вид основного уравнения (уравнение без свободного члена переходит в уравнение со свободным членом). В первом случае при решении такого процесса следует следить за параметром ср.у и при достижении а р приостановить действие механизма, затем изменить положение прибора соответственно новым коэфициентам уравнения и снова привести его в действие. Аналогичными и другими способами может быть произведено исследование влияния различных факторов на ход регулирования, как-то: мертвых ходов, упругости механизма, влияния переменных параметров системы регулирования, универсальной характеристики двигателя и пр. Для решения уравнений вида A V,+V,t oji + А, и 41 I следует в одну из тяг, соответствующих тягам по фиг. 1, включить механизм по фиг. 3, который характеризуется применением привода к стяжке от мотора М через фрикционную и зубчатую передачу, осуществляющую изменение длины тяги с течением вре,D о мени г со скоростью о -г--. Значение А - соответствует изменению длины тяги при . Включение в одну из тех же тяг механизма по фиг. 5 вводит множителем независимую переменную Z в коэфициент
основного уравнения при соответствующей производной.
Так, например, включение этого механизма в тягу /у по фиг. 1 приводит к решению уравнения вида
4/ CpIV Л,,П1,.Д,,| 0.
Этот механизм по фиг. 5 состоит из рамки /5, имеющей щарнирно закрепленную точку О, и движка с щарниром 16, который передвигается с постоянной скоростью вдоль рамки 75 кареткой /7, перемещающейся вдоль направляющих 18 с помощью мотора М, фрикционной передачи и зубчатой рамки, прикрепленной к- продолжению соответствующей тяги. При этом расстояние между точкой О и тягой равно пути, проходимому кареткой мотора в единицу времени.
Включение в схему фиг. 1 прибора по фиг. 4, состоящего из мотора, фрикционной винтовой и рычажной передачи к одной из щайб 7, ... 7, приводит к рещению еще более сложных уравнений. Например, осуществляя привод по фиг. 4 к шайбе 7|у фиг. 1, можно получить возможность решать уравнения вида
+ Га + bt) M,f + -f + д,9-л, о.
На фиг. 6 показан прибор, с помощью которого также можно производить решения диференциальных уравнений. Он состоит из аналогичных систем рычагов, тяг и фрикционных передач и отличается от прибора по фиг. 1 лишь тем, что диски трения только вращаются, а поступательное движение получают сами шайбы, которые и связаны с рычажной системой. На фиг. б показан прибор для решения уравнений второго порядка. Его уравнения движения будут
0.
1«1, 2 2«2
которые приводятся к диференциальному уравнению
Л. + .
При включении в схему по фиг. 6 добавочных механизмов можно получить решение более сложных уравнений, но в виду того, что для вычисления коэфициентов а, а . . . требуется большая вычислительная работа, нежели при пользовании прибором, по фиг. 1, этот прибор может быть рекомендован лишь в особых случаях.
Все фрикционные передачи, примененные на перечисленных выше механизмах, могут быть заменены любой кинематической парой или механизмом, осуществляющим зависимость s,,.i й,,. Кроме того эта зависимость может быть осуществлена с помощью реверсивного электромотора со скоростью вращения, меняющейся по закону прямой при смещении контакта реостата, управляющего мотором, из своего среднего положения, которое соответствует остановке мотора, а также и другим способом. Применение прибора по фиг. 1 продемонстрировано на примере рещения диференциальных уравнений регулирования. Кроме того он может применяться и при исследовании колебаний упругих систем, а также для построения траекторий, диаграмм скоростей и ускорений и решения других технических задач, приводимых к решению диференциальных уравнений.
Предмет изобретения.
1. Прибор для решения диференциальных уравнений вида
оСрЧ-Л, . . . +Л„,ср+, 0
(где Лр, Л, ... Л, суть коэфициенты, а а . . . j-производные функции - порядка, соответствующего показателю), отличающийся тем, что с приводной осью 9 связаны оси 6 (5|| ... посредством переменных передач 7, 5, могущих быть установленными согласно коэфициентам Oj, а., . . . из уравнений
, -2 2
, Я -i
