Устройство для решения систем алгебраических уравнений Советский патент 1977 года по МПК G06G7/46 

1

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в вычислительных устройствах, предназначенных для решения широкого класса систем алгебраических уравнений.

Известно устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее матрицу оезисторов и блоки уравновешивания, выполненные в виде операционных усилителей постоянного тока. Это устройство устой чиво решает такие системы линейных алгебраических уравнений, у которых квадратная матрица коэффициентов имеет все собственные значения с положительной вешественной частью.

Известно также двухзвенное устройство для решения систем алгебраических уравнений, в котором используются две матрицы резисторов и блоки уравновешивания в виде операционных усилителей. Однако применение таких устройств ограничено тем, что уровни рабочих напряжений значительно ниже уровней напряжений, допустимых по техническому паспорту используемьрх операционных усилителей.

Наиболее близким к изобретению техническим решением является устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержашее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, горизонтальные шины которой через соответствующие источники тока соединены с шиной нулевого потенциала, а вертикальные шины соединены с входами соответствующих повторителейЭтому устройству свойственны функциональная ограниченность, в связи с решением систем линейных алгебраических уравнений только с квадратными матрицами.

Цель изобретения - расширение класса решаемых уравнений.

Это достигается тем, что в устройстве для решения систем алгебраических уравнений каждый блок уравновешивания содержит резисторы и операционные усилители, в обратной связи первого из которых включены параллельно две цепочки последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка масштабных резисторов первой из указанных цепочек соединена через первый согласуюший резистор с выходом соответству-юшего повторителя и через входной масштаб ный резистор - с входом второго операционного усилителя, в обратной связи которого включена цепочка из последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка которых соединена с общей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционного усилителя, выход второго операционного усилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответствующего повторителя. На чертеже приведена схема предлагаемого устройства для решения систем алгебраических уравнений. Предлагаемое устройство содержит матрицу резисторов 1, повторители 2, блоки уравновешивания 3 с положительными коэффициентами передачи, согласующие резисторы 4 -4 2 и источники тока 5 для задания вектора правых частей. Каждый блок уравновешивания 3 состоит из двух операционных усилителей 6, масштабных резисторов 7 с единичными проводимостями, входного масштабного резистора 8 и двух масштабных резисторов 9, проводимость которых Ь -Блок уравновешивания 3 имеет поло жительный коэффициент передачи равный . Матрица резисторов 1 моделирует матрицу коэффициентов А решаемой системы линейных алгебраических уравнений. В установившемся режиме для модели справедливы следующие уравнения

|«.Г,/.«

..,0,

(1)

.-t-f 0

1

т

И«,

f 2 а

,,i°-;r -..o.

т

тп

«

Sq,

,-2v

1°i-n «r,-n

О, ii-f

, напряжения на горизонтальных шинах матрицы резисторов 1; X , - напряжения на вертикальных 50 шинах матрицы резисторов 1, где 77 и m соответственно число вертит кальных и горизонтальных шин (в общем случае ti 55 может быть не равно тп ); токи источников 5; напряжение на выходе i блока уравновешивания 3 ( i 1.2... п);60

y q Ax-Q f

или

Подставляя уравнения (5) и (6) i

уравнекие (4), имеем

(G-t-cx --bo() 0

(7)

Матрицы Ь и а выбираем чтобы выполнялось условие

G-(t7-E)

ИЛИ

(-b-Ef G,

а

где Е - единичная матрица.

Тогда уравнение (7) приобретает вид димости резисторов 4 2 и 43. коэффициенты матрицы исходного матричного уравненияAx fCZ) ) удобно представить в матх -bf 0, 0. х, - диагональные матрицы, элементы которых представляют собой сумму элементов соответственно строк и столбцов матрицы А; транспонированная матрица А; диагональная матрица проводимостей резисторов 4 4 2 диагональная матрица коэффициентом передачи блоков уравновешивания 3; векторы, соответственно с с компонентами ф.ф (3) получим . Таким образом, предлагаемая схема опнсывается уравнением (9). Здесь матрица Q представляет собой матрицу собственных проводимостей узлов Vi и поэтому является диагональной матрицей с положительными элементами, при этом матрица А Q А будет положительно определенной, следовательно схема устройства будет устойчивой и дает решение. В случае квадратной неособенной матрицы А это решение единственно, и оно будет найдено схемой даже Цри плохой обусловленности матрицы А. Дпя доказательства умножим уравнение (9) слева на матрицу (А Q А ) и получим K (A rAQ f АЧ , т.е. получим решение системы уравнений (1). Если система уравнений (1) переопределена (тп п , матрица А является прямоугол ной), предлагаемая схема дает единственно решение, причем это решение является наилучшим, минимизирующим сумму квадратов модулей невязок уравнений (1). Наилучшее решение переопределенных систем получают применяя левую трансформацию Гаусса : А . Уравнение можно трактовать следующим образом. Исходное уравнение (1) умножаем на диагональную матрицу Q QAx Qf. Это тождественное преобразование, которое не изменяет множества решений системы уравнений {1). Поэтому если (11) умножить на А , то решение полученного таким образом уравнения (9) будет совпадать с решением уравнения (10), которое является наилучшим. Покажем, что благодаря специальному включению резисторов 7, 8 и 9 и операционных усилителей 6 блок уравновешивания 3 является устойчивым. В динамическом режи ме с учетом паразитных емкостей усилителей С схема блока уравновешивания описывается системой дифференциальных уравнени d -IT-- I - т -1 . + С В N В С В N f напряжение на входах усилителей;диагональная матрица собственных проводимостей узлов блоК - коэффициент усиления операционного усилителя при разомкнутой обратной связи. Для устойчивости блока уравновешивания, а следовательно и предлагаемого устройства необходимо, чтобы матрица С В N Б имела собственные числа с положительными вещественными частями. Так как матрица является диагональной с положительными элементами, для этого достаточно, чтобы матрица Б N Б была положительно определенной. Это условие выполнено, так как матрица N является диагональной с положительными элементами. Поэтому блоки уравновешивания 3 являются устойчивыми. Предлагаемое устройство в отличие от известных устройств аналогичного) назначения позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений как с квадратными, так и с прямоугольными (с переопределенными, т.е. тп п ) матрицами коэффициентов. Эта особенность позволяет применить предлагаемое устройство вместо ЦВМ при проектировании таких технических систем, зависимость между параметрами в которых имеет вид переопределенной системы линейных алгебраических уравнений. Технико-экономический эффект применения предлагаемого устройства определяется его низкой стоимостью, значительной экономией машинного времени ЦВМ и непринципиальностью исключения ЦВМ, в связи с не очень высокими требованиями по точности определения параметров технических систем на стадии проектировочных расчетов. Формула изобретения Устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, горизонтальные шины которой через соответствующие источники тока соединены с шиной нулевого потенциала, а вертикальные шины соединены с входами соответствующих повторителей, отличающееся тем, что, с целью расширения класса решаемых уравнений, в нем каждый блок уравновешивания содержит резисторы и операционные усилители, в обратной связи первого из которых включены параллельно две цепочки последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка масштабных резисторов первой из указанных цепочек соединена через первый согласующий резистор с выходом соответствующего повторителя и через входной масштабный резистор - с входом второго операционного усилителя, в обратной связи которого включена цепочка из последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка которых соединена с обшей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционного усилителя, выход второго операционного усилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответствующего повторителя.

Г

ян

LJ

I ).

11

tH