Предлагаемое устройство предназначено для гармонического анализа и синтеза периодических кривых, т. е. для нахождения коэфициентов ряда Фурье, в который раскладывается заданная функция /(х), или нахождения значения функции по заданным коэфициентам ряда Фурье.
Если /(х) может быть представлена в виде ряда
/(.t) -- AQ + .4j sin X-t- ylo sin 2x +
-Ь.4з81 3-Х-|- ... -f-B, COSX-f+ Bocos 2.X-I-Я,со8 3x-f ...-f ....
TO коэфициенты Л, A, A.-, . . . B, B, . . . сразу находится предлагаемым устройством, как то;1ько /(х) набрана.
Устройство выполнено в виде ряда потенциометров, число которых соответствует числу членов разложении функций. Потенциометры соединены своими движками с делителями напряжения, имеющими выводы, подобранные так, чтобы снимаемые с делителей напряжения были пропорциональны
синусам и косинусам кратных углов или коэфициентам ряда Фурье. Эти делители включены последовательно, с учетом знаков, в цепь электроизмерительного прибора, служащего указателем коэфициентов ряда Фурье или результирующего значения функции.
На фиг. I изображена основная часть з/стройства - мультипликатор, на фиг. 2 - график разложения периодической функции, на фиг. 3 - схема переключателя устройства, на фиг. 4 - схема включения мультипликаторов, на фиг. 5 - схема включения сопротивлений делителя напряжений.
Основной деталью устройства является мультипликатор, принципиальная схема которого показана на фиг. I.
Первичная обмотка / трансформатора Т (зажимы М и Л ) включена в сеть переменного тока.
Напряжение б вторичной обмотки // подается на потенциометр АВ. Передвигая движок /7 по обмотке потенциометра, можно подать любую
2
часть напряжения U., на делитель напряжения CD.
Путенциометр АВ градуирован, что позволяет устанавливать на делителе CD- заданную часть L/,, непосредственно по шкале потенциометра.
Количество мул тишшкаторов равно количеств} ординат, которыми анализируемая кривам делится на ряд участков.
Н|-{же для примера описано стройство, рассчитанное на 36 ординат и 18 гармоник. Устройство по этом)принципу .может быть построено для любого числа ординат и гармоник.
Для описываемого устройства необходимо 36 мультипликаторов.
Предположим, что мультипликатор, и:;отраженный на фиг. 1, соответствует /г-ной ординате. В этом случае делитель напряжения CD должен иметь выводы, подобранные таким образом, чтобы;
1)между точками О и 1 (фиг. 1) действовала часть приложенного к CD напряжения, равная
Uin UcD5in(lOnr2)между точками О и 2
sin(2-1 о/г) и между точками О и m
fmn f -nisin() .
Как видно из этих формул, точкой О и любым выводом должна действовать лишь часть напряжения и, так как абсолютное значение синуса любого аргумента всегда либо равно, либо меньше единицы.
Это обстоятельство дает возможность осуществлять делитель в виде обычного сопротивления с отводами, не применяя более сложных средств.
Число 10, входящее всюду дшожителем аргумента, имеет следующее происхождение: весь период анализируемой кривой, предполагаемый равным 360°, разбит в даннол случае тридцатью шестью ординатами (фиг. 2) на равные части, отстоящие одна от другой в градусном исчислении на
360
, 10°, следовательно, число градусов от начала до л-ной ординаты будет равно Ю.
256
Число выводов делител( должно быть равно числу членов ряда (в данном случае 18).
Если, кроме разложения по синусам, предполагается еще и разложение по косинусам, то кроме указанных выводов, делитель должен иметь дополнительные выводы. Напряжения между этими выводами и нулевой точкой должны быть соответственно равны:
(/;„ б (д| cos (10/0 I
f/2n t/co|cos(2-10n)
Umn и CD COS (т IQnf .
Таким образом, для разложения некоторой функции в ряд Фурье, содержащий 18 гармоник и ид еющий своидш слагаемыми как синусы, так и косинусы, каждый делитель должен быть выполнен с тридцатью шестью выводами. Так как .многие значения I sin (т-10//) j и I cos (т- Wn)° совпадают, то действительное число выводов делителя значительно .меньше этой величины и, как показано ниже, не превышает десяти.
В самом деле, так как тип - целые числа, то произведение т-п также июжет быть только целым положительным числом; поэтому арг}.менты всех синусов и косинусов будут всегда кратны десяти.
Не трудно видеть, что абсолютные значения синусов и косинусов не будут повторяться только при изменении т-п от О до 9; при т-п Ю
sin (10-10)°; jsin 100 sin 8-10°| - |sin 80°|
;sinllO|-|;sin70°|
I sin 120°- I sin 60°
и т. д.
Таким образом, максимальное чис ло выводов у делителя, делящего напряжения на величины, пропорциональные абсолютным значениям синусов углов, кратным десяти, равно десяти.
Сопротивления между нулевой точкой и соответствующими выводами
должны быть пропорциональны следующим величинам:
sin 10° I 0,174 sin 20°
0,342
lsm30° 0,500 lsin40° 0,643
sm5Q 0,766
sin 60° I 0,866 sin 70° I 0,940
sin 80° 1 0,985 sin 90° I 1,00
Совершенно аналогичную зависиTWocTb можно получить для косинусов.
Таким образом, для деления напряжения ( на числа, пропорциональные icos (тп)° , необходимо иметь между нулевой точкой делителя и соответствующими выводами сопротивления, пропорциональные
Из сопоставления этих двух таблиц видно, что:
Rm RQS, 02 ROS Ro
об; , Ro Ro3,
Roi Rot, RoS AOl,
T. e. для разложения по косинусам могут быть использованы те же выводы, что и для разложения по синусам.
Рассмотрим теперь, как происходит определение коэфициентов ряда Фурье.
Предположим, что необходимо определить коэфициент при fc-той гармонике синуса. Как известно из теории рядов
A,lf(()dx, (1) 6
где I - период функции.
17 Свод в. 0.
В приближенном виде соотношение (1) записывается в виде:
TS/Wsin()zlx (2)
о или, в градусном исчислении,
л 4S/ () ( ) - (
в нашем случае весь период / разбивается на 36 равных частей, поэтому /
iAx,
Ах
и X
36
где i - номер ординаты, а л 36. Таким образом
/ 36 Л X, X izlx, и формула (2а) преобразуется:
36
- () si ( жат Так как Ах const, то его можно вынести за знак суммы,
зв
(Mx)sin(fc.lOO (3) 1
и аналогично
36
(iAx):os(k-lQi). (4)
Пусть кривая, изображенная на фиг. 2, подлежит разложению в ряде Фурье.
Для этой цели разобьем весь период кривой, как это показано, на 36 равных частей и измерим все ординаты от Уо до Узб соответствующие точкам деления периода от 1 до 36. Пусть максимальная ордината кривой равна у т.
Положим напряжение на вторичной
обмотке трансформатора Т (фиг. I)
равным Urn, тогда из соотношения
Urn qym(5)
определим константу подобия
1.(5а)
Ут
(Предполагается, что на вторичных обмотках трансформаторов Г всех мультипликаторов действуют одина257ковые напряжения Lm, а нервичные обмотки соединены параллельно и подключены к сети). Установим теперь с помощью потенциометров АВ по градуированной шкале следующие напряжения на делителях:1)на Делителе мультипликатора № 1 UCDI cji; 2)на делителе мультипликатора № 2 UcD2 , т) на делителе мультипликатора UcDm Ci.Vm 36) на делителе мультипликатора № 36 Ucoae с УзбТак как ординаты у могут иметь и отрицательные значения, то для установки их предусматриваются переключающие устройства, меняющие направление тока в потенциометре мультипликатора. Схема такого переключателя показана на фиг. 3. Если у имеет положительное значение, то переключатель S нужно устанавливать в положение «плюс (-f), при отрицательном у - в положение «минус (-). После установки в указанные выще положения всех потенциометров между точками О м К делителей мультипликаторов будут действовать следующие напря кения: Мультипликатор № 1 U,, c,(lQkri Мультипликатор № 2 ,(2-I0k)° Мультипликатор № 3 и„з sin(3-10/f)°
Мультипликатор № / - Uki (
Мультипликатор № 36 - Ci 36|sin(36-10A:)
Таким образом для определения коэфициента Ak необходимо измерить результирующее напряжение UK и
)Л1Ножить его на коэфициент .
Аналогичным путем могут быть найдены и коэфициенты Bf,. Разумеется, Если теперь все мультипликаторы соединить последовательно с учетом знаков синусов (как. учитывается знак синусов будет указано ниже), тогда в выражениях (6) можно опустить прямые черточки, означающие абсолютные значения, а общее напряжение, действующее между началом делителя первого мультипликатора и концом делителя последнего мультипликатора, будет равно ,sin(i.Wkr. (7) На фиг. 4 показана схема соединений мультипликаторов при определении коэфициента при /с-той гармонике синуса; каждому коэфициенту А и В ряда Фурье будет соответствовать своя схема соединений. Так как для получения соотношения (7) необходимо соединить последовательно выводы только данного номера гармоники с учетом знака синуса независимо от значений у, то все соединения выполняются заранее на контроллерах аппарата и для включения соответствующего соединения необходим только поворот переключателя контроллерного типа в заданное положение. На фиг. 4 третий мультипликатор включен в обратном направлении, что делается в том случае, если sin (3-lOk)° имеет отрицательное значение. Этим простым способом учитывается знак гармоники. Разделим выражение (3) на величину результирующего напряжения Uj соотношение (7), получающегося между зажимами Р w Q (фиг. 4) Л. 1 и, откуда
для каждого коэфициента соединения мультипликаторов должны быть соответствующилш. Для этой цели имеется переключатель контроллерного типа.
Несколько особое место занимает определение коэфициента АО.
Согласно теории рядов Фурье, I
(yc)dx,
о или, приближенно,
(x)Ax. 1
Для нашего случая/(х) (iAx) у,, / 36 Jx и Ах const, откуда
36
1 1
1
CDi
так как у, - -- то 1
36
,-.(9)
т. е. для определения АО необходимо последовательно соединить потенциометры и, замерив суммарное напряже86
ние R cDi, умножить его на 1
коэфициент -. . Soci
Использовать делители для этого случая нет необходимости.
Основным элементом устройства для гармонического синтеза является тот же мультипликатор, схема которого приведена на фиг. 1.
Отличие этого устройства от предыдущего заключается в том, что для гармонического синтеза мультипликаторы должны соответствовать отдельным гармоникам. Так как в данном случае число слагаемых ряда Фурье равно 36 (18 синусов и 18 косинусов, не считая А, то общее число мультипликаторов остается тем же, равным 36.
Выводы на делителе мультипликатора должны соответствовать определенным ординатам. Для пояснения
17
действия аппарата предположим, что мультипликатор, изображенный на фиг. I, соответствует /-той гармонике синуса. В этом случае делитель мультипликатора должен иметь выводы, делящие приложенные напряжения иf.j следующим образом:
1)напряжение между точкой О и 1 ... (Уп /со sin (1001
2)напряжение между точкой О и 2 ... L,-3 f;c.isin(2-100i
3)
m) напряжение между точкой О и ш . . . f/,-m и CD sin (т 10/) i
18) напряжение между точкой О и 18 . . . t/,i8 t/cD|sin(18-10/)|
Из этой таблицы не трудно заметить, что выводы делителя /-го мультипликатора синтеза должны быть такими же, как и у делителя мультипликатора анализа для /-той гармоники.
Число выводов должно быть равно восемнадцати (для 18 гармоник синуса), однако, пользуясь приведенным выще рассуждением, можно и в этом случае показать, что многие выводы будут совпадать между собой и что максимальное число несовнадающих выводов равно десяти.
Так как общее число слагаемых ряда Фурье равно 36, то аппарат должен иметь тридцать шесть мультипликаторов, т. е. то же самое число, что и для анализа.
Одинаковое число мультипликаторов и одинаковые выводы на делителях делают возможным использование одного и того же аппарата как для анализа, так и для синтеза. Однако схема последовательного соединения мультипликаторов при синтезе будет отличаться от схемы, применяемой при анализе. Это обстоятельство заставляет иметь для синтезов отдельный контроллер, который должен находиться в выключенном положении при работе с контроллерол для анализа, и наоборот.
Делители для гармоник косинусов ничем не отличаются от делителей синусов, за исключением нумерации выводов.
259
Для гармонического синтеза должны быть заданы коэфициенты при гармониках ряда Фурье: Лр А, А,...
As. 11 2 31 18Пусть коэфициент Am имеет наибольшее значение. Зная величину напряжения на зажимах вторичных обмоток трансформаторов мультипликаторов Urn, определим константу подобия из соотношения
am Mm,(10)
С2 (10а)
т
И установим с помощью нотенциометров на делителях следующие напряжения:
1)на делителе № 1 ... UcDi CzA
2)на делителе № 2 ... UCD .,
18)на делителе № 18 ...
19)на делителе № 19... Ucoa 10) на делителе № 20... UCD-IO CgS
3:) на делителе № 36... t/cose
Предположим теперь, что нам необходимо получить значение результирующей кривой в точке, соответствующей /с-той ординате. Для этой цели соединим последовательно все А;-тые выводы делителей мультипликаторов с учетом знаков синусов и косинусов по схеме, аналогичной приведенной на фиг. 4.
Общее напряжение между зажимами Я и Q будет
UK, Vu,oiSm(k-lQi) +
г 3в
+ UcDiCos lc-lO(i-l8), (И)
I-19
или, подставляя значение UCDI, получим:
tie
URh cAVAiSin(k-lOi) + I 1
36j
-f 2 COS k-W (/-18 i (Пa)
Ордината кривой /(x), соответствующая абсциссе k (lQk)°, как
260
известно, выражается зависимостью
18
/. V А-sin С--100 +
I
18
+ У В,-COS (/С-10/). (12)
Сравнивая соотношения (11) и (12), найдем:
и.
Rk
(13)
Ун Соединяя последовательно различные выводы делителей мультипликаторов, можно получить непосредственным измерением напряжения UK, пропорциональные всем ординатам результирующей кривой
Vi У& }збАппарат для гармонического анализа и синтеза, построенный на изложенном выше принципе, может быть выполнен без контроллеров, применяемых для получения коэфициентов различных гармоник или (в случае синтеза) ординат.
Для этой цели на каждую вторичную обмотку // трансформатора Г должно быть параллельно включено такое число отдельных делителей, сколько гармоник желательно получить. При этом от каждого делителя должен быть сделан всего один вывод, который отделял бы часть напряжения, поданного на делитель, пропорциональную синусу или косинусу соответствующего аргумента.
Соединения выводов одного номера гармоники в этом случае выполняются фиксированными по схемам, соответствующим различным положениям контроллера.
При этом значительно возрастет число применяемых делителей, однако для малого числа гармоник такое выполнение аппарата может оказаться предпочтительным.
Для измерения результирующих напряжений, дающих значения коэфициентов ряда Фурье или ординат кривой при синтезе, лучше всего использовать компенсационный метод, значительно снижающий погрешности измерения.
Измерительный потенциометр может быть отградуирован так, чтобы значения коэфициентов ряда или величины ординат читались непосредственно на шкале.
В качестве нулевого индикатора может служить магнито-электрический гальванометр, соединенный последовательно с вибрационным выпрямителем.
Так как аппарат и изл1ерительное устройство питаются от одной сети и результаты измерений получаются в относительных величинах, то изЛ1еренные значения не зависят от колебаний напряжения питающей сети.
Таким образол, устройство для гармонического анализа и синтеза должно состоятьиз многообмоточного трансформатора, панели ординат, контроллеров и ключа.
Многообмоточный трансформатор выполняется с первичной обмоткой, рассчитанной для включения в сеть 120 или 220 в. Вторичных обмоток делается 36 - по числу ординат анализируемой кривой. Все вторичные облютки выполняются на одно и то же напряжение (с одинаковым числом витков) и монтируются на одном стержне. Концы вторичных обмоток постоянно включены на делители напряжения.
Панель ординат представляет собой изоляционную панель, на которой смонтировано 36 делителей напряжения.
Каждый делитель напряжения имеет вертикальный ряд гнезд, отверстия которых расположены на лицевой стороне панели. Ряд подразделяется уа две части: верхнюю, дающую число десятков требующегося деления ординат, и нижнюю,-дающую число единиц. С обратной стороны панели между каждой парой соседних по вертикали гнезд подпаяны сопротивления. Для верхней части ряда сопротивления выполнены в Ю раз большими, чем сопротивления нижней части ряда.
Все сопротивления одного вертикального ряда (верхней и нижней части его) включены последовательно, как это показано на фиг. 5.
Концы каждой такой цепочки из сопротивлений присоединены к одной из вторичных обмоток трансформатора.
Между верхней и нижней группами гнезд делителей расположены еще два гнезда (+) и (-), из которых выпущены гибкие проводники (с однополюсными вилками на концах их) такой длины, чтобы вилки можно было включать в любые гнезда своего делителя. С оборотной стороны панели каждая пара таких гнезд подключена к концам одного потенциометра.
Делители перенумерованы от 1 до 36 соответственно номерам ординат анализируемой кривой.
Если вилка -f (плюс) какого-либо делителя вставлена в одно из гнезд десятков, а вилка - (минус) в одно из гнезд единиц, то этим самым «набрано необходимое положительное значение ординаты соответствующего номера. Для задания отрицательных ординат в гнездо десятков должна быть вставлена вилка - (минус), а в гнездо единиц - вилка + (плюс).
Кроме делителей, на правом краю панели ординат имеются четыре гнезда для четырехконтактной вилки со шнуром, соединяющим аппарат с измерительным устройством. По одной паре проводов шнура подводится напряжение сети к трансформатору, другая пара служит для измерений.
Во избежание неправильных включений эти гнезда и соответственно контакты вилки расположены несимметрично.
При выполнении синтеза значения коэфициентов А задаются на делителях .NO I-18, а значения коэфициентов Р - на делителях JVb 19- 36.
Контроллер состоит из панели, в которой смонтированы контактные пружины, выполненные в виде игл, один конец которых закреплен в панели, а другой свободен.
По краям панели установлены угольники. Боковые стенки угольников засверлены и в отверстия входят наконечники валиков.
Валики выполнены из изоляционного материала и имеют прямоугольное сечение. На узкой стороне валика,
261
параллельно его оси, закреплены контактные скобки. Контактные пружины размещены по обе стороны валика так, что при повороте валика на 90° в TV- или другую сторону каждая контактная скобка замыкает пару соответствующего ряда. Этим осуществляется необходимая комбинация соединений концов потенциометра, присоединенных под панелью к контактным иглам. Для того чтобы пружины изгибались в параллельных плоскостях и этим самым строго определялось замыкание скобкой только своей пары пружин, концы их входят Б прорези гребенок. В каждом ряду по одну сторону валика устанавливается 36 пар пружин, соответственно числу ординат анализируемой кривой.
Поворотом валика в одну сторону осуществляется соединение концов потенциометров для получения значений, пропорциональных косинусам, поворот этого же валика в другую сторону дает значения, пропорциональные синусам одной из гармоник. Так как число гармоник выбрано 18, то н валиков применено столько же.
Чтобы облегчить сборку и монтаж сопротивлений, на каждой контроллерной панели устанавливаются три валика с шестью рядами пружин. Всего таких панелей для анализа выполняется щесть. Кроме того, еще шесть панелей устанавливаются для синтеза.
Все панели контроллеров монтируются на каркасе в одной плоскости, параллельной плоскости панели ординат. Оборотная сторона контроллерных панелей используется для присоединения к контактным пружинам выводов потенциометров, которые располагаются над контроллерами.
Поворот валика контроллера в рабочее положение в ту или другую сторону осуществляется с помощью ключа, вставляемого в отверстие наконечника контроллера. Бородки ключа выполнены неодинаковыми, так что ключ может быть вставлен в отверстие наконечника через щель накладки в одном определенном положении. На головке ключа выгравированы надписи «sin и «cos. При повороте валика ключом в одно из рабочих положений надпись на ключе обозначит получаемые значения. Номер гармоники при этом определяется номером щели накладки.
Ключ нельзя вынуть из аппарата до тех пор, пока валик не будет повернут в исходное положение. Так как ключ всего один, то этим исключена возможность одновременного включения двух контроллеров.
Предмет изобретения
Устройство для гармонического анализа и синтеза периодических функций, отличающееся тем, что для определения коэфициентов ряда Фурье разложения функции по значениям этих коэфициентов оно выполнено в виде ряда потенциометров, число которых соответствует числу членов разложения функций и которые соединены своими движками с делителями напряжения, имеющими выводы, подобранные так, чтобы снимаемые с делителей напряжения были пропорциональны синусам и косинусам кратных углов или коэфициентам ряда Фурье, и включенными последовательно с учетом знаков в цепь электроизмерительного прибора, служащего указателем значения коэфициентов ряда Фурье или результирующего значения функции.
Фиг. I
ППГШ1
о6
м л/
Фиг. 2
