Устройство для решения нелинейных сопряженных задач Советский патент 1981 года по МПК G06G7/46 

(54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ

1

Изобретение относится к области аналоговой вычислительной техники и предназначено для решения нелинейных краевых задач теории тепломассопереноса на RC-сетках.

При исследовании управления технологическим процессом направки твердых сплавов ТВЧ-методом, процес-сов обтекания тел турбулентным потоком жидкости, высокотемпературного контакта двух тел возникает вопрос определения температурного поля совокупности тел или тела с жидкостью. Подобная задача с учетом пов хностных эффектов и нелинейным теплообменом между телами сводится к совместному решению двух уравнений теплопроводности с существенно нелинейным условием сопряжения (теплообмен по закону Стефана-Больцмана, изменение температуры во времени на границе контакта тел и т.п.).

Математически, в случае наплавки твердых сплавов ТВЧ-методом, задача сводится к решению системы уравнений

().-ii:,;o

с.условием сопряжения

5 SP/f- l -.-n(

3«U

X/%gyvrfll(), и,-и.,Х«0 C2)

где - металл, -диэлектрик;

to и - температура в К

проводиости;

С;(р. - удельная теплоемкость и

15

платность металла; f - глубина проникновения . тока в метгшле;

- коэффициент теплопроводности ;

Ц - постоянная Стефана-Больцмана;

,- степень черноты; 25l(v) эквивалентная плотность

источников тепла.

Учет нелинейного условия сопряжения (2)приводит к тому, что данная задача становится трудноразрешимой 30 каким-либо аналитическим методом.

Решение такого рода задач достаточно просто осуществимо на аналоговых вычислительных устройствах типа КС-сето

Известна сеточная модель для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных на RC-сетках, которая содержит две КС-сетки, связанные между собой резисторами и емкостями. Обе RC-сетки реализуют уравнение теплопроводности для двух тел, а резисторы и емкости реализуют взаимосвязь решаемых уравнений fl .

Недостатком такого устройства является то, что связь между внутренними или граничными узлами сеточных областей линейная, что ограничивает его применение, так как большинства практических задач вида (1) типичен нелинейный характер (2) взаимосвязи обоихуравнений .

Наиболее близким к данному техническому решению является устройство для решения сопряженных задач, которое содержит RC-сетку, функциональный преобразователь и блок граничных условий 2,

Недостаток - невозможность моделирования нелинейного теплообмена между двумя телами или телом и набегающей жидкостью, что ограничивает возможности этого устройства.

Цель изобретения - расширение функциональных возможностей за счет учета нелинейного теплообмена на границе тел.

Для достижения цели в устройство, содержащее две RC-сетки, граничные узлы которых соответственно соединены с первыми выводами первого и второго масштабирующих резисторов, вторые выводы которых через накопительный конденсатор подключены к шине нулевого потенциала, введены п дополнительных масштабирующих .jesHCTopoB, п разделительных диодов и п источников тока, причем первый вывод i-ro дополнительного масштабирующего резистора, катод i-ro разделительного диода и выход i-ro источника тока подключен к вторым выводам первого и второго масштабирующих резисторов i-ro граничного узла (где ,2,..., п; п - число граничных узлов) второй вывод i-ro дополнительного масшт бирующего резистора соединен с вторыми выводами первого и второго масштабирующих резисторов (i+l)-ro грани ного узла, анод i-ro разделительного диода подключен к шине нулевого потенциала,

На чертеже изображена блок-схема устройства для решения нелинейных сопряженных задач.

Устройство содержит две RC-сетки 1, в граничные узлы которых подключены цепочки из двух последовательно включенных первого и второго масштабирующих резисторов 2, накопительный конденсатор 3, разделительные

диоды 4, источники 5 тока и масштабирующие резисторы 6.

Рассмотрим работу предлагаемого устройства для решения системы уравнений (1) с условием сопряжения (2).

Систему уравнений (1) с условием сопряжения (2) запишем в конечно-разностной форме по координатам:

2 л,,у ,-,,v

°ilДХ

ii.C+ ,

. Ui.m.M-(,

C3) ЛМ

г,тС7о ,

IHio , .j yliiki SP Э-Ь UX7 ux

-l(H,-V.4e...f

i,o,,,o, ,

Vl

где к - коэффициент пропорциональности;

if - тепловой потенциал;

М - число узлов разбиения на

координате во второй области.

При записи условия сопряжения (2) в конечно-разностной форме (4) степенной характер теплообмена (закон Стефана-Больцмана) заменен на экспоненциальный. Для произвольного внутреннего узла m,n RC-сеток на основании 1-го закона Кирхгофа, имеем

-(К+1мК.-

Г. ,n.Y , V.и,и УУт,.У1-|,и ,

М ,2.М W. .tH. 1|.1 t.n.M-f H, ..

R:;.-i2,

где R. /R , - сопротивления и емкости элементов RC-сеток. Для произвольного узла из заземленных емкости диода, источника тока и двух резисторов, соединенных со средними точками предыдущей, и последующей цепочек из двух последовательно включенных резисторов на основании 1-го закона Кирхгофа имеем:

av

. ..K-n г,1..о,и -о.

.g,niiOiH M.-i,n г,1..о,и iiOiH -, at

R

-p C- 1-f

%

,

(6i

где Co - значение емкости 3,

RO - сопротивление резистора 2, R - сопротивление резистора 6,

;хак видно из сравнения уравнений для потенциалов обеих RC-сеток (5) и исходных уравнений (3) , а также из сранения уравнения для потенциалов граничных точек (6) и условия сопряжения (4) при выполнении условийCR-iCO- ii

СяоСоГ -- Т: i (RoC . ;

U)

дсог i «fi;

о

C,.V

где XO,KY - коэффициенты пропорциональности, данное устройство является моделью для решения уравнения (1) с условием сопряжения (2). При задании начальных условий на обе RC-сетки в виде потенциалов, в узла обеих RC-сеток будут получены изменяющиеся во времени потенциалы, сооветствующие температуре обеих тел н основании условия (7), а цепочки из двух последовательно включенных резисторов, к средней точке которых подключены заземленные емкость, диод, источник тока и резистор, моделируют нелинейный теплообмен между телами. Следовательно, на данном устройстве для решения нелинейных сопряженных задач будет получено искомое температурное поле обоих тел. Введение в граничные узлы RC-сеток новых элементов - заземленных емкости, диода и источника тока, а также резистора позволяет моделиро,вать существенно нелинейный теплообмен между двумя телами.

Формула изобретения Устройство для peideHkH нелинейных сопряженных,задач, содержащее две RC-сетки, граничные узлы которых соответственно соединены с первыми выводами первого и второго масшта бирующих резисторов, вторые выводы которых чер«.з накопительный конденсатор подключены к шине кулевого потенциала, отличающееся тем, что, с целью расширения функ циональных возмсякностей за счет учета нелинейного теплообмена на границе теЛ;В него дополнительно введены п дополнительных масштабирующих резисторов, п разделительных диодов

5 и п источников тока, причем первый вывод i-ro дополнительного масштабирующего резистора, катод i-ro разделительного диода и выноЛ i-ro источника тока подключены к BTOIHJM

0 выводам первого и второго масштабирующих резисторов i-ro граничного узла (где i l,2,...n;n - число граничных узлов), второй вывод 1-го дополнительного масштабирующего ре- зистора соединен с вторыми выводами первого и второго масштабирующих резисторов (i+l)-ro граничного узла, анод i-ro разделительного диода подключен к шине нулевого потенциала.

0Источники информации,

принятые во внимание при экспертизе

1.Авторское свидетельство СССР 565305, кл. G 06 G 7/46, 1977.

2.Авторское свидетельство СССР

5 394810, кл. G 06 G 7/46, 1973 (прототип) .