Устройство для решения дифференциальных уравнений Советский патент 1987 года по МПК G06G7/38 

Изобретение относится к вычислительной технике, а именно к аналоговым и гибридным вычислительным устройствам, предназначенным для решения дифференциальных уравнений с использованием аппарата дифференциальных преобразований, для реализации дифференциальных и интегральных операторов дробного порядка и моделирования дифференциальных уравнений, включающих такие операторы.

Цель изобретения - расширение функциональных возможностей устройства за счет решения дифференциальных уравнений, включающих опараторы дробного порядка.

На чертеже приведена структурная схема устройства

Интеграторы 2(1), 2(2), 2(3),. 2(п) второй грз ппы предзаначены дл формирования сигналов, пропорциона ных составляющим аппроксимирующего дифференциального спектра. Для это их входы подключены к выходам блок 8 формирования линейного преобразо вания, а выходы - к первым -инфор ционным входам электронных ключей 6(1), 6(2), 6(3),...,6(п) первой

25

Устройство для решения дифференциальных уравнений содержит интеграторы 20 группы и к соответствующим входам 1(1), 1(2), 1(3),...,1(п) первой груп- блока 10 регистрации. пы, интеграторы 2(1) 2(2), 2(3).,.,, 2(п)-ВТОрой группы, умножители 3(1), 3(2)5 3(3),...,3(п) первой группы, умножители 4(1), 4(2), 4(3).,.,4(п) второй группы, блок 5 задания начальных условий, двухпозиционные ключи 6(1)/6(2), 6(3),...,6(п+1) первой группы, сумматор 7, блок 8 формирования линейного преобразования,, блоки 9 и 10 регистрации, двухпозиционные ключи 11(1)5 11(2), 11(3),.,., 11() второй группы, умножители 12(1), 12(2), 12(3),...,12(п) третьей

Интеграторы 13(2), 13(3),...,1

третьей группы предназначены для ф мирования сигнгшов, пропорциональн

.t.K-H

(-) , Для этого эти интеграторы н

динены в каскадную цепочку, причем вход первого интегратора 13(2) по ключен к выходу функционального пр 30 образователя 14, вход которого под ключен к выходу генератора 15 лине но изменяющегося напряжения, выход функционального преобразователя 14 и интеграторов 13(2), 13 (3),...,13

группы, Интеграторы 13(2), 1 3(3) ,. .. ,35 Р ... . 13(п) третьей группы, функциональный преобразователь 14, генератор 15 линейно изменяющегося напряжения, обратимый линейньй преобразователь 16, полюса о

Устройство предназначено для моделирования прямого и обратного дифференциальных преобразований функций определения на основе дифференциальных спектров производных и интегралов дробного порядка э тих функций и решения дифференциальных уравнений, включающих дифференциальные

операторы дробного порядка вида

K(t)f(t), (1)

с соответ

ствующими вторыми входами третьей группы умножителей 12(1), 12(2), 12(3),...,12(п). I

Первые входы: умножителей первой

40 и второй групп подключены к выхода интеграторов 1(1), 1(2), 1(3),... 1(п) первой группы, вторые входы у ножителей 3(1), 3(2), 3(3),. , V,3(n первой группы - к выходам электрон

45 ных ключей 6(1), 6(2), 6(3),...,6 первой группы, выходы этих умножителей - к входам сумматора 7, выхо которого подклк чен к входу первого блока 9- регистрации, вторые входы

50 умножителей 4(1), 4(2), 4(3),...,4 второй группы объединены и подключены к выходу двухпозиционного клю ча 6(п41) первой группы,, выходы ум жителей 4(1), 4(2), 4(3),. ..,4(п)

где - дробное число, лежап|ее в пределах ± 1 ,

Соответственно виду этой решаемой задачи интеграторы К 1), l(2)f 1(3),°,; 1(п); 2(1), 2(2), 2(3),...,2(п); 13(2), 13(3),.3(п) и сумматор 7 представляют собой интегральные операционные усилители с соответствующими их функциям обратными связями.

Интеграторы (), 1(2), 1(3),..., 1(п) первой группы предназначены для формирования сигналов, пропорциональtных (-)

при k-Q,,.,.,п. Для этого

указанные интеграторы соединены кас- кадно.

Интеграторы 2(1), 2(2), 2(3),..., 2(п) второй грз ппы предзаначены для формирования сигналов, пропорциональных составляющим аппроксимирующего дифференциального спектра. Для этого их входы подключены к выходам блока 8 формирования линейного преобразования, а выходы - к первым -информационным входам электронных ключей 6(1), 6(2), 6(3),...,6(п) первой

группы и к соответствующим входам блока 10 регистрации.

группы и к соответствующим входам блока 10 регистрации.

Интеграторы 13(2), 13(3),...,13(п)

третьей группы предназначены для формирования сигнгшов, пропорциональных

.t.K-H

(-) , Для этого эти интеграторы сое- н

динены в каскадную цепочку, причем вход первого интегратора 13(2) подключен к выходу функционального пре- образователя 14, вход которого подключен к выходу генератора 15 линейно изменяющегося напряжения, выходы функционального преобразователя 14 и интеграторов 13(2), 13 (3),...,13(п)

м входам

с соответР ... .

твующими вторыми входами третьей группы умножителей 12(1), 12(2), 12(3),...,12(п).

Первые входы: умножителей первой

и второй групп подключены к выходам интеграторов 1(1), 1(2), 1(3),..., 1(п) первой группы, вторые входы умножителей 3(1), 3(2), 3(3),. , V,3(n) первой группы - к выходам электронных ключей 6(1), 6(2), 6(3),...,6(п) первой группы, выходы этих умножителей - к входам сумматора 7, выход которого подклк чен к входу первого блока 9- регистрации, вторые входы

умножителей 4(1), 4(2), 4(3),...,4(п) второй группы объединены и подключены к выходу двухпозиционного ключа 6(п41) первой группы,, выходы умножителей 4(1), 4(2), 4(3),. ..,4(п)

второй группы подключены к соответствующим входам блока 8 формирования линейного преобразования. Первые входы умножит елей 12(1), 12(2), 12 (3)5...512 (п) третьей группы под3 1

ключеиы к соответствующим выходам двухпозиционных ключей 11(1), 11 (2),

11(3),...11(п) второй группы, первые информационные входы которых подключены соответственно к выходам ин- теграторов 2(1), 2(2), 2(3),...,2(п) второй группы, вторые информационные входы двухпозидионньгх ключей второй группы заземлены.

Выходы умножителей 12(1), 12(2),

12(3),...,12(п) третьей группы подключены к соответствующим полюсам обратимого линейного преобразователя 16, содержащего (п+3) полюса, причем (п+1)-й полюс через двухпозиционный ключ 11(п+1) соединен с входом устройства, (п+2)-й и (п+3)-й полюса предназначены для задания внешних сигналов или получения результата работы устройства.

Обратимый линейный преобразовател 16 предназначен для р ;ализации условия равенства нулю линейной комбинации сигналов, действующих на его полюсах. Обратимый линейный преобра- зователь 16 может быть выполнен по одной из схем квазианалогового линейного преобразователя на операционном усилителе с резистивными обратными связями.

Сумматор 7 предназначен для суммирования составляющих в соответствии формулой восстановления сигнала по аппроксимирующему дифференциальному

элементов запоминаемой функции.

Комбинации указанных режимов позволяют реализовать различные маспектру. ра исследуемого сигнала. В этом режиБлок 8 формирования линейного пре- ме осуществляется экономное хранение образования предназначен для линейного преобразования выходных сигналов умножителей 4(1), 4(2), 4(3),..., 4(п) второй группы и представляет дО иинные алгоритмы решения дифференци- систему шин, соединенных между собой альных уравнений, включающих диффе- во всех точках пересечения прецизионными резисторами. Величины прово- димостей этих резисторов устанавливаются в соответствии со значением 45 элементов матрицы линейного преобразователя .

Блоки 9 и 10 регистрации представляют собой многоканальные накопители

ренциальные операторы дробного порядка .

В первом режиме электронные двух- позиционные ключи первой 6(1), 6(2), 6(3),...,6(п) и второй 11(1), 11(2), И (3),...,11(п) групп находятся в положении, при котором выходы интеграторов 2(1), 2(2), 2(3),...,

аналоговых сигналов и могут быть вы- 502(п) второй группы отключены от вхополнены на основе операционных усили-дов умножителей 3(1), 3(2), 3(3),...,

телей с емкостными обратными связи-3(п) первой группы и 12(1), 12(2),

ми и соответствующими ключевыми схе-12(3),... J2(n) второй группы, котомами, обеспечивающими регистрацию,рые этими же ключами соединены

хранение и выдачу аналоговой информа- с шинами нулевого потенциала. Тем сации в различных режимах работы уст-мым на выходах указанных умножителей

ройства.3(1), 3(2), 3(3),...,3(п) первой

Функциональный преобразователь 14группы, соединенных с соответствукиципредназначен для формирования сиг- .ми входами сумматора 7 и выходами

t t налов вида (-) и может быть выполнен

по любой из схем аналоговых преобразователей степенного типа.

Генератор 1 5 линейно-изменяго1це1-о- ся напряжения предназначен для развертки аргумента функционального преобразователя 14 и-может быть выполнен, напрргмер, по схеме интегратора на операционном усилителе, на вход которого подключен источник постоянного напряжения.

Устройство работает следующим образом.

В зависимости от положения электронных ключей обеих групп устройство может находиться в одном из четырех следующих режимов:

1.Режим определения аппроксимирующего дифференциального спектра сигнала, действующего на входе устройства. Этот режим может быть использован для записи аналогового сиг нала как функцию времени.

2.Режим восстановления аппроксимированного сигнсша. Этот режим является режимом воспроизведения записанной функции, при котором возможно изменение масштаба аргумента

и введение запаздывания.

3.Режим определения производной или интеграла дробного порядка.

4.Режим хранения элементов аппросимирующего дифференциального спектэлементов запоминаемой функции.

Комбинации указанных режимов позволяют реализовать различные маме осуществляется экономное хранение иинные алгоритмы решения дифференци- альных уравнений, включающих диффе-

ме осуществляется экономное хранение иинные алгоритмы решения дифференци- альных уравнений, включающих диффе-

ренциальные операторы дробного порядка .

В первом режиме электронные двух- позиционные ключи первой 6(1), 6(2), 6(3),...,6(п) и второй 11(1), 11(2), И (3),...,11(п) групп находятся в положении, при котором выходы интеграторов 2(1), 2(2), 2(3),...

Сигналы, пропорциональные (-) ,

умножителей 12(1), 12(2), 12(3),.,., 12(п) второй группы, соединенргьк с соответствующими полюсами обратимого линейного преобразователя 16, находятся нулевые потенциалы.

Обратимый линейньй преобразователь 16 в этом режиме эквивалентен масштабному звену, на полюсе 18 которого действует анализируемьй сигнал, полюс 19 должен быть зазенпен. Этот сигнал, пройдя через открытые ключи , 11(п+1) второй группы и 6(п+1) первой группы, поступает на объединенные входы умножителей 4(1),4(2),4(3),... 4(п) второй группы. На вторька входы

этих умножителей поступают1 сигналь, {- к

пропорциональные (-) , с выходов кас н

кадно соединенных интеграторов 1(1), 1(2), 1 (3),«..,1(п) первой группы. Интеграторы первой и второй групп работают в течение анализируемого отрезка времени (О, Т) одновременно с поступлением входного сигнала,

rt.- Н

проходя через умножители 4(1), 4(2), 4 (3),...,4(п) второй группы, умножаются на входной сигнал и поступают на входы блока 8 формирования линейн го преобразования таким образом, что на входы интеграторов 2(1), 2(2) 2 (3),, . . ,2(п) второй ГРУ1ШЫ поступают линейные комбинации указанных произведений, необходимые для образования компонент аппрокси1 шруюш:его дифференциального спектра на выходах интеграторов 2(1), 2(2), 2(3),..., 2(п) второй группы. Эти компоненты поступают на входы блока 10 регист- рации,

Во втором режиме работы устройства ключи 6()„ 6(2), 6(3), . .. s6(n+ +1) первой группы устанавливаются в .положение, при котором выходные сигналы интеграторов 2(1), .2(2), 2(3),.. 2(п) второй группы подключены к соответствующим входам умножителей 3(1), 3(2), 3(3),,..,3(п) первой группы, а объединенные входа: умножи- телей 4(1), 4(2), 4(3) , . .. ,4 (п) второй группы соединены с шиной нулевого потенциала при помощи ключа 6 (п+1 Ключи 11(1), 11(2), П (3), Л ,11 (п+1 сохраняют свои положения, соответствующие режиму 1 с На выходе сумматора 7 с нача:гом работы интеграторов- 1(1), 1(2), 1(3),.,.,1(п) первой

группы появится аппроксимация сигнала в соответствии с формулой

x(t)i;x(k)(r)

.

(2)

5

Q „

.j

5

Масштабная постоянная И , входяр1;ая в выражение (2), принципиально может иметь значение, отличное от величины, которую она имела в первом режиме работы устройства.

В третьем режиме ключи 6(1), 6(2), 6 (3),,,.,6(п) первой группы устанавливаются в состояние, соответст- первому режиму. Ключ 6(п+) так же как и во втором режиме обеспечивает потенциал на объединенных входах умножителей 4(1), 4(2), 4 (3),..,,4(п) второй группы, Кпючи 11(1), 11(2), И (3),.,.,11(п) второй группы устанавливаются в противоположное состояние, при котором выходные сигналы интеграторов 2(1),

2(2), 2(3)2(п) второй группы

поступают на соответствующие входы умножителей 12(1), 12(2), 12(3),..., 12(п) третьей группы. С помощью ключа 1 (п+1) второй группы соответствующий полюс обратимого линейного преобразователя 16 соединяется с шиной нулевого потенциала. Полюс 19 как и ранее в первом режиме, должен быть заземлен,

,t,Ki9

Сигналы вида (-) , сформированные н

на выходах функционального преобразователя 14 и интеграторов 13(2), 13(3),..„,3(п) третьей группы, по- . ступая на входы умзэожителей 12(1), 12(2), 12(3), ....,|2(п) третьей группы, будут умножены на составляющие аппроксимирующего дифференциального спектра, поступающие с выходов интеграторов 2(), 2(2), 2(3),Л.,2(п) второй группы. Линейная комбинация полученных произведений сформирует на полюсе 18 обратимого линейного преобразователя 16 функцию времени, соответствующую аппроксимации интеграла или производной дробного Порядка „

В режиме хранения элементов аппроксимирующего дифференциального спектра ключи 6(1),, 6(2), 6(3),..., 6 (п+1); 11(1), 11(2), П (3),..., 1 (п+1) обеих групп устанавливаются в состояние, при котором на соответствующих входах умножителей 3(1), 3(2), 3(3),/.. 3(п); 4(1), 4(2), 4(3),...,4(п); 12(1),12(2),12(3),...,

t. (n) устанавливаются нулевые сигналы, исключающие появление выходных. При этом на выходах интеграторов 2(1), 2(2), 2(3), .. .,2(п) второй группы будет сохраняться элементы аппроксимирующего дифференциального спектра, на основе которых в любой момент времени могут быть восстановлены аппроксимация сигнала и производной (интеграла) дробного порядка этой аппроксимации.

Комбинация указанных режимов работы устройства позволяет реализовать многошаговый итерационный процесс решения обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего дифференциальный оператор дробного порядка вида (1).

В результате одного цикла работы устройства реализуется один шаг .процесса в соответствии с выражением

, .Ш--

..,(t)

об

dr

(t) , (3)

Для реализации рассмотренного процесса необходимо следующее чередование режимов работы устройства:

на вход 18 обратимого линейного преобразователя 6 подается начальное приближение сигнала K(t) и в первом режиме работы определяется начальное приближение аппрокси- мирзтощего дифференциального спектра;

в третьем режиме работы определя- ется -я производная начального приближения сигнала, на основе которой обратимый линейный преобразователь 16 сформирует сигнал х,(t), который одновременно через открытые ключи 6(п+1) и 11(п+1) поступает для определения следующего приближения аппроксимирующего дифференциального спектра искомого сигнала.

Таким образом, в результате таког чередования режимов работы, где на последнем этапе реализуется комбинация первого и третьего режимов, будет получено решение дифференциального уравнения вида (1).

Формула изобретения

Устройство для решения дифференциальных уравнений, содержащее первый и второй блоки регистрации, (п+1) двухпозиционных ключа первой группы, первую и вторую группу по п умножителей в каждой, первую и вторую группу по п интеграторов в каждой.

5

0

5

выход каждого 1-го интегратора первой группы соединен с входом (i+i)-ro интегратора первой группы и первыми входами i-x умножителей первой и вто5 рой групп,- блок задания начальных условий, выход которого соединен с входом первого интегратора первой группы, выход (п+1)-го двухпозиционного ключа первой группы подключен к

0 вторым входам умножителей второй группы, блок формирования линейного

преобразования, входы которого соединены с выходами умножителей второй групп Ьт, выходы блока формирования линейного преобразования соединены соответственно с входами интеграторов второй группы, сумматор, входы которого подключены к выходам умножителей первой группы, выход сумматора соединен с входом первого блока регистрации, входы ,второго блока регистрации подключены к выходам интеграторов второй группы и к первым информационным входам двухпозиционных ключей первой группы, выходы которых соединены с вторыми входами умножителей первой группы, вторые информационные входы двухпозиционных ключей

0 первой группы подключены к шине нулевого потенциала, отличающееся тем, что, с целью расширения функциональных возможностей за счет решения дифференциальных урав, нений, включающих операторы дробного порядка, в него введены третья

группа из (п-1) интеграторов, третья группа из п умножителей, вторая группа из (п+1) двухпозиционных ключей,

0 генератор линейно-изменяющегося напряжения, функциональный преобразователь и обратимый линейный преобразователь, п полюсов которого соединены с выходами соответствующих умно5 жителей третьей группы, первые входы которых подключены к выходам соот- ветствзпощих ключей второй группы, первые информационные входы п- ключей второй группы соединены с выходами

0 интеграторов второй группы, выход (п+1)-го ключа второй группы подключен к первому информационному входу (п+1)-го ключа первой группы, вторые информационные входы ключей вто5 рой группы соединены с шиной нулевого потенциаша, выход генератора линейно изменяющегося напряжения через функциональньй преобразователь соединен с входом первого интегратора

третьей группы и с вторым входом первого умножителя третьей группы, выход i-ro интегратора третьей группы подключен к входу (i+)-ro интегратора третьей группы и второму входу (i+l)-ro умножителя третьей группы, ()-ый полюс обратимого линей30572810

ного преобразователя соединен с первым информационным входом (п- -О-го ключа второй группы, (п+2)-й и (п+ +3)-й полюсы обратимого линейного г преобразователя являются соответственно входом задания аргумента устройства и выходом устройства.

Изобретение касается аналоговой и гибридной вычислительной -техники. Цель изобретения - расширение фуйкциональных возможностей за счет решения дифференциальных уравнений. Цель достигается введением в устройство дополнительно третьей группы интеграторов, третьей группы умножителей, второй группы двухпозицион- ных ключей, генератора линейно изме- нягацегося напряжения, функционального преобразователя и обратимого линейного преобразователя. Исследуемый сигнал на некотором фиксированном временном интервале предварительно анализируется устройством с целью определения аппроксимирзш)щего дифференциального спектра. Этот спектр регистрируется, а на этапе определения производных и интегралов дробного порядка восстанавливается i аппроксимация сигнала в виде полинома и реализуются формулы дробного дифференцирования или интегрирования полученных полиномов. I ил. с (Л С

ЙГ

15

lie 13

/гН

т

Составитель В.Лихацкий Редакто р В.Данко Техред Л.Сердюкова Корректор А.Зимокосов

Заказ 1455/49 Тираж 673Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР

по делам изобретений и открытий 113035, Москва, Ж-35, Раушская наб,, д. 4/5

Производственно-полиграфическое предприятие, г. Ужгород, ул. Проектная, 4