УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ Советский патент 1972 года по МПК G06G7/68 

Изобретение относится к области аналоговой вычислительной техники.

Известны трансформаторные модели, которые решают системы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей. Однако сложность изготовления трансформаторов со значительным числом обмоток, каждая из которых снабжена большим числом отводов для набора различных значений коэффициентов, а также погрешности, обусловленггые нелинейностью трансформаторов, снижают практическую ценность таких моделей.

Известные устройства на реактивных эле.ментах решают поставленную задачу без нрел,варительной ее подготовки. Однако в этих схемах имеет место следующее. Если решается система, матрица которой содержит значительное число положительных и отрицательных элементов, то в моделирующей матрицу электрической схеме соответственно будет содержаться значительное число емкостных и индуктивных провод.имостей. Изготовление индуктивности с высокой добротностью представляет достаточно сложную задачу, а использован tie индуктивностей с низкой добротностью приводит к знач ительным погрешностям в результатах моделирования. С другой стороны, промыилленностью выпускаются емкостные проводимости с малым углом потерь, что позволяет применять их дл.я моделирования. Указанное

можно устранить, если построить моделирующую схему с минимальным числом индуктизностей, заменив, где это возможно, индуктивность емкостью.

1-1звестна также квазиана аоговая модель «дзета-аналог, которая содержит одно или два квазиотрицательных сопротивления на одно неизвестное и требует обязательного предварительного аналитического приведения заданной матрицы к матрице с неотрицательными эле.ментами. При достаточно высоком порядке матрицы, эта операция трудоемка и продолжительна. Кроме того, приведение матрицы системы к матрице с неотрицательными

коэффициентами зачастую повышает порядок системы уравнений на величину, близкую к числу отрицательных элементов исходной матрицы. Расширение матрицы не проис.ходит только

в одном частном случае, когда речь идет о матрицах, у которых знаки соседних слагаемых в каждой строке различны, что является основной причиной того, что «дзета-аналог на постоянном токе и не может быть непосредственно применен (без введения добавочных отрицательных параметров в схему) для построения электрических моделей конечно-разностных операторов (дифференциальных уравнений), содержащих различные знаки побочразностные операторы бигармопических уравнений, описывающих анизотропные, ортотроиные, изотропные плиты, оболочки находящихся под воздействием сложных систем нагрузок и ряд других операторов. Поставленные задачи иа известном «дзетааналоге могут быть рещены лищь после предварительного аналитического составления всей системы алгебраических уравнений (на основе заданного конечно-разностного оператора) с последующим ее приведением к матрице с неотрицательными коэффициентами. Только после этих трудоемких операций можно решать систему на упомянутой модели. Целью предлагаемого устройства является создание электрической модели системы алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, работающей на постоянном токе, что открыло бы щирокие возможности моделирования сложных и важных инженерных задач теории упругости, а также в других областях техники путем построения сеточных моделей многочисленных симметричных и несимметричных конечно-разностных операторов дифференциальных уравнений и, кроме того, создание электрической аналоговой модели на переменном токе для решеиня системы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной л атрицей, содержащей минимальное число индуктивностей, что обеспечило бы широкие возможности моделирования актуальных инженерных задач путем построения сеточных моделей многочисленных симметричных и несимметричных конечно-разностных операторов диффереициальньк уравнений. Расщирение круга решаемых задач в предлагаемом устройстве достигается тем, что в нем одноименные узлы верхней и нижней нары сеток соединены проводимостями, моделируюн 1, главные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен, в зависимости от знака, со всеми узлами второй и третьей сеток нроводимостями, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток введена компенсирующая проводимость. На фиг. 1 приведена принципиальная схема предлагаемой электрической модели на проводимостях ,-;, gik системы двух линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, тумблеры 7| и TZ служат для учета знаков нобочных коэффициентов аi/i и имеют три положения, причем среднее положение соответствует а//,,; на фиг. 2 приведена нринципиальная схема предлагаемого устройства на активных проводимосгях для моделирования конечно-разностного оператора дифференциального уравнения порядка, содержащего четные и нечетные производные; на фиг. 3 предложена схема устройства на емкостных проводимостях для моделирования конечно-разностного оператора дифференциального уравнения к-го норядка. тивиых ироводимостях для решения системы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, которая не требует предварительной подготовки матрицы системы, подобной выщеизложенному, и содержащей только одно квазиотрицательное сопротивление на каждое неизвестное. Поясним работу модели на примере решения системы двух уравнений. Пусть дана система уравнений aiiVi+ai2t2 6i I a2|Ai+a22.V2 2.l определитель которой не равен нулю. На фиг. 1 показана схема электрической модели системы уравнений (1). Эта схема состоит из сдвоенных сим метрично расноложенных проводимостей gii и g,- пропорциональных коэффициентам матрицы а,-,- и а,- тумблеров Tt, Тг для учета знаков побочных коэффициентов а//,, двух источников токов 1, /2 для задания правой части системы уравнений (1) и двух источников э. д. с. Е,1 и Еа для создания отрицательных ПрОВОДИМОСТеЙ §(„,-, g,;e. На основании первого закона Кирхгофа записываем уравнение токов для двух двойных УЗЛОВ аа и bb: ,,,,-EU ) §„ t/,,,,-Z:Jg, После элементарных нреобразований с том уравнений (3) получаем: , L k,,,,-(gn+g,2) + U,gn + U2gr2 2h 2(l-2/JL-W«,,-(g-22 + g-2,), I u, tV aa I + t/lg21 + t/2g-22 2/2 Сравнивая уравнения (4) и (1), находим, / g„л() 2( 1-2 )g«« - (g22+g2l)0 2( 1-2 /, .,: /2 (6j gii cu/.g ; g iii aitt i-g Системы уравнений (4), (1) будут идентичны при /„ /« (, откуда следует, что

2riiri.2

Л Ш

Л1+Г12

2/22 21

Г22+/2 источников э.д.с -, и « руются так, чтобы напряжения /„ и / тились в нуль. При этом условий с эффект отрицательного сопротивления Таким образом, схема {см. фиг. 1) моделью системы двух линейных алг ских уравнений с произвольной -нео матрицей, -побочные элементы которо различные знаки. Очев-ндно, что все ное распрастраняется на систему с числом уравнений. Действительно, пус систему л-го порядка: Gi.Vi+fl)2.V2+... + l;i Хп 1) a2 Xi+a22X2+...+a2An 1)2 О„ )Л| -f-fln 2- 2+--- + t,i Уравнение (2), (3), (4) для у &6..., пя запишется так: пг л -- u ) gati r п. ;,-I.1л ,-, , I ( и /)« - /.- J /, f / О (.,i F о- i / - ) - S7 // , - L. J: 1 f clfi - tj I « // -- LJ I иiii: -- Л Г .I // - - / Ij nn - Q Я После элементарных преобразован чаем: ,,j2(l-2 ,:,,. L tJ о,;/; ;1 4-Sf/,,, 2/, f/«,J2(l-2,-/),«.- Е,, L t ел-/:--:i -j- S и, g.,, 2/., Unn( )„я- S,,.v L UnaЛ-1 -j-S fy,, §-,,,, и// : a/i y-i-; gi,, : a/ty-i«-u

Узловые проводимостл 1

Т,, 1

.-..

(14)

2 „Snii -- -5- - gn о - . Узловые токи .: I Покажем теперь, что на основе вышеописаной модели легко строится сеточная модель есимметричного конечно-разностного оператоа дифференциального уравнения k-ro порядка частных производных от двух переменных А ,//. ри этом не требуется предварительно пониать порядок дифференциального уравнения ли делить ее на части, как это до сих пор деается (1), (2), (3). Пусть имеется дифференциальное уравнение -ro порядка, содержащее четные и нечетные роизводные, конечно-разностный оператор коTinr гЛГгл D / /лт1г/: л (-«плмго т ияг121/лт птгггторого В оощем случае илгеет вид: (Л + )Г„ :i: S Л,- W, : ... - 1 Л; Wi Л, Л, Л2, ...А„ -коэффициент оператора;М- постоянный множитель; /г - порядок оператора; Л - шаг сетки оператора; В - правая часть; Wi - значение функции в точке /; 1, 2,..., е, п - н мерация точек оператора. На ф:Иг. 2 показана электрическая модель данного оператора, состоящая из четырех сеток (о, б, ей г), между которыми включены вертикальные и перекрестные проводимости согласно основной схеме. В устройстве (см. фиг. 2) одноименные узлы (/-2 м 5-4} двух пар сеток а-б и в-г соед1шены проводимостями 5, моделирующими главные коэффициенты матрицы. Каждый узел 1 и 4 обеих пар сеток соединен со всеми узла.ми второй (б) и третьей в сеток проводи мостя ми 6, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а межд} одноименными узлами первой (а) и четвертой (г) сеток включена компенсирующая проводимость 7. Легко видеть, что уравнение (12) после сведевия бо к , записанное для узла 00, принимает вид:

Сопоставляя (16) и (17), находим

g,(A-

11

ei

(18)

Bh

I I

1 0 14

2 (

Й

Знак минус коэффициентов Л,- учитывается перекрещиванием концов соответствующих проводимостей, примыкающих к узлам i и 1, согласно схеме (см. фиг. 1). Приведенная на фиг. 2 четырехсеточная модель несимметричного конечно-разностного оператора -го порядка в литературе неизвестна и является следствием предлагаемой модели системы линейных алгебраических уравнений. Данная модель может найти применение при решениибигармонических задач теории упругости и в дру1их областях техники.

Для симметричного конечно-разностного оператора модель упрощается: вместо четырех сеток остаются две сетки с вертикальными и перекрестными нроводимостями. Заметим, что симметричный конечно-разностный оператор аппроксимирует дифференциальное уравнения k-TQ Порядка, содержан ие только четные производпые. К таким уравнениям, например, относятся бигармонические уравнения теории упругости без учета объемных сил в декартовых координатах. Бнгармоннческое уравнение в полярных координатах содержит нечетиые производные и, следовательно, конечно-разностный оператор несимметричен. В этом случае он моделируется по схеме ф«г. 2.

Легко видеть, что вышеизложенное может

оыть распространено на конечно-разностный оператор- дифференциального уравнения от трех переменных х, г/, 2 и т. д. На фиг. 3 показала электрическая модель несимметричного конечно-разностного оператора дифференциального уравнения -го порядка, содержащего четные и нечетные производные с применен-ием емкостных проводимостей. Это устройство отличается от ранее рассмотренного тем, что активные проводимости (см. фиг. 1) заменены емкостными проводимостями, а узловые проводимости -индуктивными. Благодаря это.му устраняются квазиотрицательное сопротивление И нроцесс его настройки, а число индуктивных проводимостей сводится к минимуму.

.Предмет изобретения

Устройство для моделирования конечно-разностных операторов дифференциальных уравнений k-vQ порядк-а и систем алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, содержащее сетки из проводимостей и подключенные к ним источники питания, моделнруюи1ие коэффициенты матрицы и свободные члены уравнений, отличающееся тем, что, с целью расширения круга решаемых задач, в нем одноименные узлы двух пар сеток соединены проводимостями, моделирующими главные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен со всеми узлами второй и третьей сеток провод,имостя.ми, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток включена компенсирующая ПрОВОДИМОСТЬ. .

г.г

Фиг.З