Учебное пособие для графического построения производной функции по заданному ее графику Советский патент 1939 года по МПК B43L11/00 

Аналитический метод преподавания математики имеет вполне отвлеченный характер и поэтому иногда трудно усваивается учащимися. В противоположность этому графический метод, вследствие большей наглядности, значительно облегчает понил{ание сущности основных положений высшей математики. При этом процесс построения производной может помочь усвоению сущности аналитического метода нахождения производной данной функции.

Эти особенности характеризуют предлагаемое учебное пособие.

С помощью предлагаемого учебного пособия можно в промышленности определять скорость протекания любого процесса по опытному графику.

Сущность изобретения поясняется чертежом, на котором фиг. 1 изображает предлагаемое учебное пособие, фиг. 2 иллюстрирует построение производной с помощью предлагаемого учебного пособия и фиг. 3-проведение касательной к кривой с небольшим радиусом кривизны.

Сектор Л снабжен дуговым прорезом т, служащим для пропуска обоймы k. Последняя служит для перемещения радиуса г, выполненного в виде нити, натянутой между центром сектора и обоймой k. В вырезе О находится нить /, которую можно перемещать по прорезам я и «1 и устанавливать на одном из делений масштаба, нанесенного на прорезах п и «,. Прямая pq проходит через центр сектора и направлена по оси ОХ. Нить / направлена по оси OY. Деление, через которое проходит нить /, дает длину отрезка от начала координат до нити /, т. е. длину отрезка Дх.

Величина этого отрезка показывает, в каком масштабе будет произведено построение производной.

Производная в какой-либо точке кривой определяется как тангенс угла между касательной, проведенной к кривой в этой точке, и положительным направлением оси ОХ и

равна отношению д. Из соотно.

шения (Л)-АЛ: следует, что в прямоугольных треугольниках, по

строённых на упомянутых касательных с катетами, равными Дл;, вторые катеты дают величину производной, увеличенную в Дх раз.

На фиг. 2 графически изображена функция у 0,1 л2. Построение производной (например, для точки S) состоит из следующих приемов. Устанавливают прежде всего нить I на делении i (ДА 1), затем накладывают прибор на чертеж так, чтобы нить / совпала с ординатой 8. Перемещая прибор и нить / вдоль этой ординаты, следят за тем, чтобы радиус г совпал с касательной к кривой в точке 8а. Отрезок нити / от прямой pq до точки пересечения радиуса г с нитью / равен искомой производной у Ь.у. Переместив прибор по ординате 8 до совпадения прямой pq с осью ОХ, отмечают эту производную точкой 8.

Подобным же образом строятся производные и для других точек графика (на фиг. 2 точки 2, 10, 12).

При другом масштабе чертежа нить / соответственно перемещают по прорезам п и HI.

Если угол между касательной и положительным направлением оси ОХ тупой и тангенс угла отрицательный, то пользуются обратной стороной прибора. Найденные значения производных - Дз/ откладывают по ординатам не вверх, а вниз от оси ОХ (см., например, построение производной для точки 5).

При построении касательной нет надобности устанавливать нить г в точке касания. Достаточно установить нить г параллельно участку данной кривой, если участок кривой имеет небольшую кривизну и весьма близок к прямой. В случае большой кривизны участка можно применить следующий способ построения касательной. От данной точки D кривой (фиг. 3) откладывают вправо и влево равные отрезки DDi и DD-, затем соединяют полученные точки прямой

DjD.j и устанавливают нить г по этой прямой или параллельно ей.

С этим прибором можно решить обратную задачу. Чтобы построить интегральную кривую по данной производной, например

У0,2л rfx 0,lx2 + C,

поступают следующим образом.

Пусть дано графическое изображение производнойз 0,2д;(фиг.2). Таким образом для каждой точки оси ОХ известны направления касательных к искомой кривой.

Прямые, параллельные этим касательным, проводятся в соответствующей последовательности из начала координат О до встречи с первой ординатой, оттуда до пересечения со второй и т. д.

Если взять вместо точки О другую точку, расположенную по оси ординат выше или ниже точки О, то получится кривая, все точки которой снижены или повышены по сравнению с первой интегральной кривой. Это семейство кривых наглядно иллюстрирует неопределенность задачи

yo,2x rfx 0,l д:з-|-С.

Предмет изобретения.

Учебное пособие для графического построения производной функции по заданному ее графику, отличающееся тем, что оно выполнено в виде квадранта со сквозным вырезом, снабженного поворотным вокруг центра радиусом в виде нити, служащим касательной к данной кривой, и параллельной одной из сторон квадранта передвижной нитью, точка пересечения которых определяет элементы для графического построения производной в любой точке графика заданной функции.

Е авторскому свидетельству Н. И. Утешева

JSs 55319

Е авторскому свидетельству Н. И. Утешева

Ко 55819