Устройство для извлечения корня третьей степени Советский патент 1982 года по МПК G06F7/552 

(5) УСТРОЙСТВО ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОРНЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ Изобретение относится к цифровой вычислительной технике и может быть использовано в вычислительных и информационно-измерительных устройств и системах. Известно устройство i для извл чения корня третьей степени из числ п,1 путем возведения в куб вспомогательной числоимпульсной последовательности m с использованием итерационного выражения -Ъ т - (т-1) -V 2S 3i « 1 и сравнения получаемого „числа с чис лом п. Результатом вычисления является число Шц Vin f, где 3С ближайше большее или равное целое число. Недостатком данного устройства является большое значение максималь ной абсол1отно11 погрешности вычислений, обусловленное тем, что результат принимает только целочисленные значения. Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является yet ройство 2J, которое содержит два счетчика, накапливающий сумматор, элемент задержки, формирователь импульсов, триггер, элемент ИЛИ и элемент И. В данном устройстве при вычислении также- используется итерационное выражение (1), а,результатом явля С nj Д® Г 1 ется число т лая часть. Недостатком устройства является большое значение максимальной абсолютной погрешности вычислений, обусловленное кусочно-ступенчатой аппроксимацией воспроизводимой функции. Оно имеет отрицательный знак и равно по модулю единице младшего разряда результата, а именно л .„ 3. ДПЮУ У(лц-1 -/fV 390 Цель изобретения - повышение точности устройства. Поставленная цель достигается тем что в устройство для извлечения корня третьей степени, содержащее два счетчика, накапливающий сумматор, элемент задержки, триггер, элемент ИЛИ и элемент И, первый вход которого соединен с прямым выходом триггера, а выход покдлючен к первому входу элемента ИЛИ, выход переполнения первого счетчика подсоединен ко входу элемента задержки, выходы разрядоз второго сметчика подсоединены к информационным входам накапливающего .сумматора со сдвигом на один разряд сторону старших, введены второй элемент,ИЛИ, второй накапливающий су матор, первая и вторая группы элемен тов И, группа элементов ИЛИ, второй и третий элементы задержки, при этом выход третьего элемента задержки соединен с входом установки первого счетчика и вторым входом элемента И, вход третьего элемента задержки подсоединен к выходу второго элемента задержки, первым входам элементов И второй группы и первому входу второго элемента ИЛИ, выход которого подсоединен к тактирующему входу второго накапливающего сумматора, а второй вход второго элемента ИЛИ соединен с первыми входами элементов И пе вой группы, входом второго элемента задержки, выходом первого элемента задержки и счетным входом второго счетчика, прямой выход второго разря да которого соединен со счетным входом триггера, вход установки в единичное состояние которого соединен со входом первого элемента задержки, входом сброса второго накапливающего сумматора и тактирующим входом перво i го накапливающего сумматора, информационный вход младшего разряда KOTOрого подсоединен к шине логической единицы, остальные информационные входы подключены к информационным выходам второго счетчика, информационные выходы первого накапливающего сумматора подключены ко вторым входам элементов И второй и первой групп, выход первого элемента И первой группы подключен к входу первого разряда второго накапливающего сумматора, выходы младшего и старшего разрядов первого накапливающего сумматора соединены со вторыми входами соответственно первого элемента И первой груп0пы и последнего элемента И второй групгруппы, выход последнего элемента И второй группы подключен к (п-1)-му разрядному входу второго накапливающего сумматора (где И- разрядность второго накапливающего сумматора), выходы элементов И второй группы, кроме последнего, соединены с первыми входами элементов ИЛИ группы, вторые входы которых подключены к выходам элементов И, начиная со второго, группы, выходы элементов ИЛИ группы соединены с инйюрмационными входами, со второго по(и-2)-ой разряды соответственно второго накапливающего сумматора, инверсные выходы которого подключены к информационным входам первого счетчика, счетный вхбд которого соединен с выходом первого элемента ИЛИ, второй вход которого подключен к информационному входу устройства. На фиг. 1 представлена структурная схема предлагаемого устройства; на фиг. 2 - Графики, поясняющие принцип работы устройства. Предлагаемое устройство содержит первый и второй счетчики 1 и 2, первый и второй накапливающие сумматоры 3 и , первую 5 и в1Ърую 6 группы элементов И, группу 7 элементов ИЛИ, первый, второй и третий элементы задержки 8, 9 и 10, триггер 11, элемент И 12, первый и второй элементы ИЛИ 13 и 1, вход 15 устройства. При этом счетный вход счетчика 1 соединен с выходом элемента ИЛИ 13 а . выход переполнения - со входом последовательно соединенной цепочки элементов задержки 8, 9 и 10, тактирующим входом. В основу алгоритма работы устройства положены следующие соображения. На фиг. 2 представлены график а, соответствующий истинному значению функции m -/77, и ломаная б, соответствующая целочисленным значениям данной функции, взятым с недостатком и характерным для работы известного «, устройства. Чтобы обеспечить знакопеременную погрешность извлечения корня третьей степени с точностью до целого, необходимо использовать выражениетц 0,5 (3) при округлении недостатком или о.; (М избытком. при округлении с На фиг. 2 функции ( гГ-н-0,5) и (Til - 0,5) представлены кривыми ё и г соответственно. Рассмотрим выражение mi, + 0 Преобразуя его, можно получить n(m.-0,3) п1ц-Ь5т,, т 0,75mi. -0,125(5) Если п принимает только целочисленные значения, то возможны лишь приближенные равенства 1«Иц. --|v«J.-1,,75W, Ч3,(26- fe) И-ХИЦ.ЛУУ .-eOJSVvi ) 1 J i Ц Ц L ПриМц. 1,2,3,4,5,6,7. .. выражения (6) и {G) принимают 0,3,15,42, 91,166,27... и 1,i,16,А3,92,167,275 275.. соответственно. Таким образом, если значения 1Пц изменять на единицу при значениях Иц обеспечивающих равенства (6) или (6) будут формироваться ломаные д и е соответственно, характеризуемые знакопеременным характером погрешности вычислений. Очередные значенияИц., при которых необходимо изменять значения Мц5, различаются при этом на величину . . 4K-)V), .| Ц/, Ч.,ц. / / (%-о). п) а сами значенияиц . илииЛ. могут быть найдены из соотношений 1 L f Т N;t.o 44vvH fmuHl « .21 i-i-, г io %H-r-J (8) .о %;L-4 j . (8) ,4%-bK17 Дт-т U.) Если для определения очередных значений пц-использовать выражения (8) или (8) без второго члена, то после каждых четырех шагов будет накапливаться дополнительная погрешность недобора аргумента, равная единице. Для ее компенсации после каждых четырех шагов получения аргумента пц.или п .с использованием накапливающего суммирования членов УПцнеобходимо к значению аргумента добавлять единицу. Получаемые при этом 55 числовые ряды совпадают с числовыми последовательностями, описываемыми выражениями (6) и (6). За счет замены выражения (5) выражением (6) или (6) знакопеременная абсолютная погрешность вычислений имеет несимметричный характер. Своих максимальных значений она достигает в окрестностях значений аргументу Пц. . Для максимальных значений погрешности положительного знака (погрешности перебора) и максимальных значений отрицательного знака Спогр&и недобора) в окрестностях р МОЖНО записать следующие ана чек Пц . можно записать следующие аналитические выражения; I-5Г ,-1 . rfflti-HT , Л. , .. vy,ctn)i c.), Уткахi л ., - VKr)- , ) Vviaxt-) u. . -ц jvwi 1 / ynWt-M . Jjro U. t 4 J В случае, когда аргумент и функция носят чисто дискретный характер, погрешность недобора достигает своего максимального значения не в окрестностях точек п а в предыдущих дискретных точках п„ . и может быть записана как записана как д- .V(;r;)/w wT№Hii ..o S 4 J C11) ;™,,и...- - Г--5, , ) Значения абсолютных погрешностей, ассчитанные по формулам ( для азличных значений т.даны в таблице. Как видно из таблицы, с ростом т, .1 г m г одули всех погрешностей положитёлього знака уменьшаются, а погрешносей отрицательного знака увеличиваютя, имея своим пределом значение ,5. На их поведении, кстати, замето В11ияние второго члена выражений 8), и (В ). Так, например, модуль порешности перебора ь г1собенно заетно уменьшается при значениямх . 5,9... ). где осуществляется очеред79ная коррекция значений аргумента на единицу а погрешности недобора )-Г предыдущих точках. В промежутках между коррекциями модули по грешностей могут даже незначительно возрастать, но в целом уже приКМц 710 знамение максимальной погрешности вы числений практически может быть равным 0,5. При использовании для выбора Пи выражения (8) максимальные по модулю значения принимают погрешность Лума)гс+ а при использовании выражений (В ) погрешностьС ,..,. По своим абсолютным значениям они соизмеримы, но в целом погрешность uv)((j быстрее приближается к предельному значению 0,5, чем погрешность )(;. Это дает основание для случаев, когда пред лагаемое устройство предназначено дл воспроизведения функции VYI -VPi цифроаналоговыми методами, предпочесть алгоритм С8). Если же предлагаемое устройство использовать для цифровых вычислений, то предпочтительный алгоритм (8), так как в этом случае как погрешность перебора ,/о,: так и погрешность недобора д ,о в всем диапазоне вычислений не правышают значения 0,5. Свои наименьшие значения при этом они принимают на начальном участке, что способствует уменьшению и относительной погрешности. Устройство работает следующим образом. При использовании алгоритма ( 8 в исходном положении второй разряд счетчика 1 установлен в нулевое, а все остальные разряды - в единичное состояние (т.е. в нем записан код, дополнительный до трех), в младшие р азряды счетчика 2 и накапливающего сумматора 3 записаны единицы, а все остальные их разряды установлены в нулевое состояние, состояние триггера 11 и накапливающего сумматора Ц безразличное. ВходньГе импульсы, подаваемые на вход 15 устройства,пройд через элемент ИЛИ 13 поступают на счетный вход счетчика 1 и своим задним фронтом меняют его состояние. По ве Прихода третьего импульса входной последовательности счетчик 1 перепол няется. Импульсы переполнения с его выхода поступают на вход элемента за держки 8, вход сброса накапливающего сумматора k, вход установки триггера 11 в единичное состояние и так0тирующий вход суммирования накапливающего сумматора 3. Так как в нем перед этим содержалась единица и на его входах в данный момент присутствует код, равный трем, который образован содержимым счетчика 2 и логической единицей, постоянно подклю-. ченной ко входу младшего разряда, то после прихода и 1пульса содержимое сумматора 3 становится равным четырем. Через время, определяемое элементом задержки 8, импульс через схему ИЛИ Ц поступает на тактирующий вход накапливающего сумматора , и код сумматора 3 через группу элементов И 5 и группу элементов ИЛИ 7 переписывается в накапливаний сумматор . Одновременно импульс поступает на счетный вход счетчика 2. Содержимое счетчика 2 становится равным двум. Через время, определяемое элементом задержки 9, на тактирующий вход суммирования сумматора через элемент ИЛИ 1t вновь поступает импульс, а так как он одновременно поступает и на группу элементов И 6, то удвоенное значение кода сумматора 3 через группу элементов И 6 и группу элементов ИЛИ 7 добавляется к содержимому сумматора f Число, записанное в нем, становится равным утроенному значению кода сумматора 3, а именно, двенадцати. Через время, определяемое элементом задержки 10, импульс поступает тактирующий вход установки счетчика.1 и переписывает в него обратный код сумматора j, затем, пройдя через открытый элемент И 12 и элемент ИЛИ 13, этот же импульс поступает на счетный вход счетчика 1 и своим задним фронтом добавляет к его содержимому единицу. Тем самым в счетчике 1 формируется код, дополнительный до двенадцати.Следующий импульс переполнения появляется на выходе счетчика 1 после поступления импульса входной последовательности с номером пятнадцать. Таким образом, можно убедиться что по окончании всех внутренних тактов и переходных процессов в сумматоре 3 формируется код, равный девяти, в счетчике 2 - равный трем, в сумматоре k - равный двадцати семи, а в счетчике 1 - код, дополнительный до двадцати семи. В соответствии со структурой выражения (8 ) в счетчике 2 формируется код результатов вычислений 1, , в сумматоре 3 код

2.

, В сумматоре k код hili . а

уи

ц . ) и jr -ti-ivj I J -т гч -jrtl ц ..;

следующее переполнение счетчика 1 имет место при поступлении импульса входной последовательности, имеющего номер, равный з vnu После каждого перехода счетчика 2 в состояние, при котором его содержимое становится кратным четырем, на выходе его второго разряда формируется перепад из единичного состояния в-нулевое. Триггер 11 этим перепадом переводится в нулевое состояние, благодаря чему на последнем такте обработки очередного переполнения в счетчике 1 формируется не дополнительный, а обратный код со/рержимого сумматора 4, Следующее за этим переполнение на выходе счетчика 1 имеет место при поступлении числа импульсов, на единиц большего содержимого сумматора 4. Тем самым вносится поправка аргумента в соответствии со вторым членом

выражения (8;

Работа устройства при использовании алгоритма (8) отличается только исходным положением, а именно все разряды счетчика 1 предварительно устанавливаются в единичное, а все разряды счетчика 2 и сумматора 3 в ну левое состояние, состояние триггера 1 1 и накапливающего сумматора k безразличное. При поступлении импульсов входного числоимпульсного кода работа устройства осуществляется в соответствии с вышейзложенным,толь ко очередные переполнения счетчика 1 формируются при поступлении импульсов входной последовательности не с номерами 3 15, , 91..., а с номерами, на единицу большими, чем для алгоритма (8), а именно 1, Ц, 16, 3) 92... и т.д.

В пеовом случае выходнрй код Шц формируется в соответствии с ломаной д фиг,2, а во втором - в соответствии с ломаной е на фиг. 2.

Быстродействие устройства определяется динамическими свойствами используемой элементной базы и динамическим диапазоном значений входного кода, определяющим разрядность основных операционных узлов. Технико-экономический эффект заключается в умень 1шении погрешности вычисления. 139 Формула изобретения Устройство для извлечения корня третьей степени, содержащее два счет чика, накапливающий сумматор, эле-с мент задержки, триггер элемент ИЛИ и элемент И, первый вход которого со единен с прямым выходом триггера, а выход подключен к первому входу элемента ИЛИ, выход переполнения первого счетчика подсоединен ко входу эле мента задержки, выходы разрядов второго счетчика подсоединены к информационным входам накапливающего сумматора со сдвигом на один разряд в сторону старших, отличающевся тем, что, с целью повышения точности, в него введены второй элемент ИЛИ, второй накапливающий су-миа тор, первая и вторая группы элементов И, группа элементов ИЛИ, второй и третий элементы задержки,при этом выход третьего элемента задержки соединен с входом установки первого счетчика и вторым входом элемента И, вход третьего элемента задержки подсоединен к выходу второго элемента задержки, первым входам элементов И второй группы и первому входу второг элемента ИЛИ, которого подсоединен к тактирующему входу второго накапливающего сумматора, а второй вход второго элемента ИЛИ соединен с первыми входами элементов И первой группы, входом второго элемента задержки, выходом первого элемента задержки и счетным входом второго счет Ч1|ка, прямой выход второго разряда которого соединен со счетным входом триггера, вход установки в единичное состояние которого соединен со входом первого элемента задержки, входом сброса второго накапливающего сум матора и тактирующим входом первого накапливающего сумматора, информа0ционный вход младшего разряда которо го подсоединен к шине логической единицы, остальные информационные входы подключены к информационным выходам второго счетчика, информационные выходы первого накапливающего сумматора подключены ко вторым входам элементов И второй и первой групп,, выход . первого элемента И первой группы подключен к входу первого разряда второго накапливающего сумматора, выходы младшего и старшего разрядов первого накапливающего сумматора соединены со вторыми входами соответственно первого элемента И первой группы и последнего элемента И второй группы, выход последнего элемента И второй группы подключен к ( и-1)-ну разрядному входу второго накапливающего сумматора (где и- разрядность второго накапливающего сумматора), выходы эле-, ментов И второй группы, кроме последт него, соединены с первыми входами элементов ИЛИ группы, вторые входы которых подключены к выходам элементов И, начиная со второго, первой группы, выходы элементов ИЛИ группы соединен с информационными входами, со второго по (и-2)-ой разряды соответственно второго накапливающего сумматора, инверсные выходы которого подключены к информационным входам первого счетчика, счетный вход которого соединен с выходом лервого элемента ИЛИ, второй вход которого подключен к информационному входу устройства. Источники информации, принятые во внимание при экспертизе 1. Айторское свидетельство-СССР № ЗЗ.ТбШ, кл. G06 f 7/552, 197t. 2. Авторское свидетельство СССР G06 7/552, 1976 № 603988, кл. ( прототип ).