Устройство для решения краевых задач Советский патент 1991 года по МПК G06G7/48 

1

(21) 4682438/24

(22). 20.04.89

(46) 07.04.91. Бюл. № 13

(71)Казахский государственный университет им. С.М.Кирова

(72)А.Т.Любушкин, А.П.Зенков, А.Т.Лукьянов и З.Х.Мирзатбаева

(53)681.333(088,8)

(56)Авторское свидетельство СССР № 898453, кл. G 06 G 7/48, 1979.

Авторское свидетельство СССР № 1174950, кл. G 06 G 7/48, 1983.

(54)УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

(57)Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике и предназначено для решения краевых задач. Цель изобретения - расширение класса решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме без потери точности путем реализации метода дифференциальной прогонки. Для достижения этой цели устройство дополнительно содержит второй коммутатор, блок вычисления краевых условий искомой функции и блок задания.коэффициентов уравнения. Устройство позволяет сократить время счета и распараллелить процесс вычислений без значительного усложнения аппаратурной реализации, что само по себе приводит к повышению с надежности устройства. 6 ил.

Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике и предназначено для решения краевых задач.

Цель изобретения - расширение класса решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме без , потери точности методом дифференциальной прогонки.

На фиг.1 представлена блок-схема устройства для решения краевых задач; на фиг.2 - функциональная схема блока вычисления краевых условий искомой функции; на фиг.З - функциональная схема блока промежуточного вычисления; на фиг.4 - функциональная схема блока вычисления искомой функции; на фиг.5 - функциональная схема блока

задания коэффициентов уравнения; на фиг.6 - временная диаграмма выходных напряжений блоков устройства.

Устройство для расширения краевых задач на основе метода дифференциальной прогонкич (фиг.1) содержит первый коммутатор 1, блок 2 аналоговой памяти, второй коммутатор 3, блок 4 вычисления искомой функции, блок 5 вычисления краевых условий искомой функции, блок 6 промежуточных вычис- лений, блок 7 задания краевых условий, блок 8 задания коэффициентов уравнения и блок 9 синхронизации. I

Блок 5 вычисления краевых условий функции (фиг.2) содержит первый 10 и второй 1 I контакты ключевого элемента 12, первый 13 и второй 14 би0&

Јь

О

ч

00

316

полярные источники напряжения, первый 15 и второй 16 двухвходовые сумматоры и делитель 17 аналоговых сигналов.

Блок 6 промежуточных вычислений (фиг.З) выполнен по схеме прямой диф- ференциальной прогонки и содержит первый 18 и второй 19 двухвходовые ин- тегросумматоры со схемами задания начальных условий и режимами Исходное положение, Пуск, Останов, квадратор 20 и первый перемножитель 21 аналоговых сигналов. Управляющими входами блока являются входы С, S, Н ин- тегросумматоров 18 и 19.

Блок 4 вычисления искомой функции. (фиг.А) выполнен по схеме обратной дифференциальной прогонки и содержит третий двухвходовый интегросумматор 22 со схемой заданий начальных услог вий и режимами Исходное положение, Пуск, Останов и второй перемножитель 23 аналоговых сигналов. Управляющими входами блока 4 являются входы С, S, Н интегросумматора 22.

Блок 8 задания коэффициентов уравнения (фиг.З) содержит первый 24 и второй 25 биполярные управляемые источники напряжения.

Для получения численного решения краевую задачу обычно сводят к реше-. нию системы алгебраических уравнений, заменяя производные в дифференциальном уравнении их разностными отношениями

А}у, н- С;у; + В;у н- - f;, i - I,N , A; 6, в; э о, . с;t о (О

В ряде случаев требуется решить не

одну задачу (1), а серию задач с различными правыми частями, причем число задач ъ серии может равняться нескольким десяткам или сотням при чис- ле неизвестных в каждой задаче что приводит в конечном счете к зна- чительным временным затратам.

Решение задачи (1) на известных , цифровых вычислительных устройствах, даже при использовании эыеокоэффек- тивного метода прогонки,; не дает значительного сокращения времени счета при многократном решении систем алгебраических уравнений (1) или, когда эти системы имеют высокий поря- док. Более того, использование ЭЦВМ требует специальных знаний по программированию, значительного времени

8 :.

на подготовительные операции написания и отладки программы и большого- объема оперативной памяти.

Известные аналоговые вычислительные машины (АВМ) предназначены для решения обыкновенных дифференциаль- ных уравнений с начальными условиями (задачи Каши), поэтому решение краевых задач на АВМ приводит к значительному увеличению используемых элементов, что в конечном счете снижает надежность устройства и приводит к его удорожанию.

Таким образом, известные устройства для решения краевых задач обладают следующими недостатками: значительное время счета (на ЭЦВМ), сложная аппаратурная реализация при малой надежности устройства (на АВМ), невозможность реализации потенциально высокого быстродействия АВМ (распараллеливание вычислений).

Однако решение краевой задачи (1) можно свести к решению нескольких задач Коши с помощью метода дифференциальной прогонки, что позволяет использовать АВМ без увеличения числа используемой аппаратуры. Рассмотрим, например, решение дифференциального уравнения второго порядка

У - р(х)у -I- q(x), 0ЈxЈl(2) с краевыми условиями

У - О(3)

У + 030|х - 1.(4)

Левое граничное условие (3) выделяет из общего решения (2) семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра. Тем самым в каждой . точке отрезка 0ЈхЈ1 индуцируется линейное соотношение между у (х) и У(х)

у (х) od(x)y(x) +р(х) (5),

Причем новые функции Х(х) и /Их) определяются следующими задачами КО- ШШ

ei (x) + Ло - р(х),об(о)

(6)

Р (Х) -К(х)/3(х) - qtx),

/3(о) /V

(7)

Йз уравнения (6) находится функция oi(x), зная которую, из уравнения (7) находим функцию |4(х).

516407

В точке х 1 можно теперь получить еще одно граничное условие (пригнанное из точки х 0)

у (1) oKDy(l) +/MD.5

Вместе с заданным на правой границе условием (4) оно дает возможность найти у(1) из системы уравнений

У CD Ср0у(1) +С00 у (1) 0б(1)у(1) +/5(1)

или окончательно

vm - .1

у(1) - -

(8)

Используя (5) с начальным условием у(1) yl, находим исходное решение у(х).

Кроме того, появляется реальная возможность распараллелить процесс вычислений, используя следующую идею. В прямом ходе прогонки одновременно (параллельно) решаем дифференциальные задачи (6) и (7), выбирая в определенные моменты времени счетную после- дователъность коэффициентов 06 и ft и запоминая их в соответствующих ячейках блока памяти, в обратной прогонке

выбирая из блока памяти соответствую-

щие значения ot и |Ъ , решаем дифференциальную задачу (5), которая дает искомое решение.

Устройство работает следующим образом.

Реализация алгоритма метода дифференциальной прогонки (5)-(8), т.е. решение дифференциальной задачи (2)- (4) осуществляется в несколько этапов (фиг.6). Ниже принято следующее обоз- начение U - выходное напряжение 1-го выхода j-ro блока.

Первый этап. Задаются начальные значения прогоночных коэффициентов (0) Of и |i(0) /ao,

По запускающему импульсу генератора блока 9 синхронизации на информационные входы 1 и 2 блока 6 (фиг.1,3) задаются напряжения U и U с соответствующих выходов блока 7 задания краевых условий 7 (пропорциональные начальным значениям прогоночных коэффициентов и #0). В этот промежуток времени интегросумматоры 18 и 1 9 находятся в режиме Задание начальных условий. Функциональные зависимости переменного коэффициента р(х) и правой части q(x) задаются в виде соответствующих напряжений U, и Ug. в бло

0

5

0

5

п и

5

0

5

18

ке 8 задания коэффициентов уравнения и поступают на информационные входы 3 и 4 блока 6. На данном этапе производится настройка схем блока,8, и в начальный момент времени решения на выходах данного блока сформированы напряжения U,(О) и и|(0).

Блоки 1-3, 5 находятся в это время в режиме ожидания, определяемом блоком 9 синхронизации. Блок 4 находится в режиме Исходное положение.

Второй этап. Находится решение дифференциальных уравнений (6), (7) для прогоночных коэффициентов Od(x) и /3(х). Решение ищется на интервале изменения независимой переменной х от О до 1 (прямая прогонка). Решение Об(х) и ft(х) находится в непрерывной форме в блоке 6 средствами аналоговой вычислительной техники, причем математическое доказательство работоспособности блока приведено ниже.

По окончании запускающего импульса и приходе первого тактового импульса (фиг.6) устройство начинает решение. Интегросумматоры 18 и 19 блока 6 переключаются из режима Задание начальных условий в режим Пуск. Заметим, что величина машинного времени интегрирования схемы блока 6 (фиг.З) ставится в соответствие с величиной интервала изменения независимой переменной х(). Следовательно, например, величины напряжений, соответствующие функциям р(х) и q(x), будут формироваться в блоке 8 до тех пор, пока tM не станет равным Т (коэффициенты уравнения р(х) и q(x) соответствуют в этот момент величинам р(1) И q(D).

Действительно, уравнения, описывающие работу схемы на фиг.3, имеют вид (на этом этапе)

,6

-о$ W

u,

(9)

„{(«;.).

(Ю)

и/( 4-(Ъо,

ттй

де U f - напряжение на выходе интег- росумматора 18 блока 6;

U

8

- напряжение на третьем информационном входе блока 6 промежуточных вычислений (на

и;

U

8

Uj

и 7

первом выходе блока 8 задания коэффициентов}, пропорциональное р(х); напряжение на выходе интег- росумматора 19 блока 6j напряжение на четвертом информационном входе блока 6 промежуточных вычислений (на втором выходе блока 8 задания коэффициентов), пропорциональное q(x);

- напряжения на первом и втором информационных входах блока 6 промежуточных вычислений (на первом и втором выходах блока 7 задания краевых условий)f пропорциональные начальным

соответзначениям ( и И ственно.

Из сравнения уравнений (6)-(7) с уравнениями (9)-(10) следует очевидность доказательства моделирования исходной задачи в прямом ходе прогонки. Получаемые непрерывно значения напряжений, соответствующие прогоноч- ным коэффициентам 0( и , через первый и второй выходы блока 6 промежуточных вычислений засыпаются в первый коммутатор 1, который последовательно во времени подключает первый и второй выходы блока 6 промежуточных вычислений к соответствующим ячейкам блока 2 аналоговой памяти (1-2), (3-4) . .. (2N-1 , 2N). Ввиду отсутствия запоминающих устройств с электронными способами записи, хранения и выдачи информации в непрерывной форме в предлагаемом устройстве, как уже указывалось выше, используются 2N ячеек схем хранения, записи и выдачи получаемых на данном этапе значений ко16407188

порциональные р(х) и q(x). По окончании действия запускающего импульса (на протяжении 2 этапа) все остальные блоки устройства находятся в следую-

5 щих режимах: блок 2 находится в режи- , ме записи (Выборка), и его 2N выходов отключены от выходов ячеек аналоговой памяти; блоки 3-5,7 находятся в ждущем режиме (в исходном положе10 нии). На этом заканчивается первый цикл вычислений или выполняется прямая прогонка.

Третий этап. На данном этапе происходит вычисление правого краевого

15 условия в блоке 5 в соответствии с условиями (8).

В момент времени (t Т), когда закончилось нахождение напряжений, соответствующих коэффициентам 0( и А

20 в блоке 6 промежуточных вычислений, происходит включение блока 5 вычислений раевых. условий искомой функции, и на его выходе формируется напряжение, соответствующее краевому условию ис-

25 комой функции согласно уравнению

(8). В этот момент цифровой код, соответствующий N такту работы генератора, по соответствующим выходным шинам блока 9 переводит коммутатор 1 в

30 исходный режим; блок 2 переходит в режим Хранения результатов промежуточного решения, a 2N выходов данного блока подключаются к соответствующим выходам 2N ячеек аналоговой памяти;

35 второй коммутатор 3 производит подключение 2N-ro и (2М-1)-го выходов блока 2 ко второму и первому входам блока 4; блок 4 переходит из режима Исходное положение в режим Началь50

эффициентов ((х) и |}(х) в виде соот- 45 н°е положение, ветствующих напряжений Uj(tw) и

u|(tM).

Таким образом, в 2N ячеек аналоговой памяти будет записан ряд значений напряжений U(tM«) и u|(tM;), соответствующих прогоночным коэффициентам ОС4 и ft (i 1,2...N). Управление работой коммутатора 1 осуществляется по соответствующим сигнальным линиям магистрали управления блока 9, по ко торым подаются цифровые коды на управ ляющие входы коммутатора 1 . На данном этапе решения блок 8 формирует значения напряжения Uj(rw) и , про40 ные условия ; блок 5 в этот момент начинает выдавать напряжение, соответствующее краевому условию (8); блок 6 переходит в режим Останов ; блоки 7-8 находятся в режиме Исход 55

Четвертый этап. Ищется решение искомой задачи.

По приходу N+1 импульса блок 4 переходит в режим Пуск и начинает находить искомое решение, т.е. начинается обратная прогонка, С помощью второго коммутатора 3 из ячеек блока 2 аналоговой памяти считываются попарно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам #, и /5; в обратном порядке (i N, N-1... 1) для вычисления значений искомой функции по уравнению (5). На выходе блока 4 вычисления искомой функции

н°е положение,

ные условия ; блок 5 в этот момент начинает выдавать напряжение, соответствующее краевому условию (8); блок 6 переходит в режим Останов ; блоки 7-8 находятся в режиме Исход50

5 н°е положение,

5

Четвертый этап. Ищется решение искомой задачи.

По приходу N+1 импульса блок 4 переходит в режим Пуск и начинает находить искомое решение, т.е. начинается обратная прогонка, С помощью второго коммутатора 3 из ячеек блока 2 аналоговой памяти считываются попарно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам #, и /5; в обратном порядке (i N, N-1... 1) для вычисления значений искомой функции по уравнению (5). На выходе блока 4 вычисления искомой функции

образуется искомое решение в виде непрерывно изменяющегося напряжения. Доказательство работоспособности блока 4, т.е. воспроизводимость уравнения (5) средствами аналоговой вычислительной техники очевидна

tiul 34 9

-&.-„,„,,.

(П)

Ui(tM)/tM (ч+1}Дс т + Ди

(xj (12)

Уравнение (11) изоморфно уравнению (5), что и требовалось доказать. Пос- ле поступления 2N тактового импульса процесс решения заканчивается. При этом число ячеек памяти блока 2 определяется, во-первых, из необходимой точности решения, во-вторых, быстро- действием коммутаторов 1 и 3 (например, с временем переключения 5-10 йс) что позволяет выбрать интервал машинного времени мкс, т.е. организовать параллельный и быстродействующий

процесс решения. Формула изобретения

Устройство для решения краевых задач, содержащее блок промежуточных вычислений, блок синхронизации, блок задания краевых условий, блок памяти, коммутатор, информационные выходы которого подключены к соответствующим информационным входам блока памяти, соответствующие шины магистрали син- хронизации блока синхронизации подключены соответственно к управляющим входам коммутатора, входам разрешения записи/считывания блока памяти, входам кодовой установки выходных значений напряжений блока задания краевых условий, к входам тактирования, останова и сброса интегросумматоров блока промежуточных вычислений, отличающийся тем, что, с целью расширения класса решаемых задач за счет получения устойчивого решения . краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме, в него введены блок задания коэффициен- тов уравнения, блок вычисления краевых условий искомой функции, блок вычисления искомой функции и второй коммутатор, информационные входы ко0

„ 5

0 ,. д , -

торого подключены к соответствующим выходам блока памяти, первый и второй выходы второго коммутатора соединены соответственно с первым и вторым информационными входами блока вычисления искомой функции, третий информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления краевых условий искомой функции, блок промежуточных вычислений включает два интегро- сумматора, квадратор и перемножитель, выход которого подключен к первому входу первого интегросумматора, выход квадратора соединен с первым входом второго интегросумматора, выход которого соединен с первым входом перемножителя, с входом квадратора блока промежуточных вычислений, с первым информационным входом блока вычисления краевых условий искомой функции и первым информационным входом первого коммутатора, второй информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента первого интегросумматора, выход которого соединен со вторым выходом блока промежуточных вычислений, перемножителя, со вторым информационным входом блока вычисления краевых условий и вторым информационным входом первого коммута- ра, первый информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента второго интегросумматора, второй информационный вход которого соединен с первым информационным выходом блока задания коэффициентов уравнения, второй информационный выход которого соединен со вторым информационным входом первого интегросумматора, соответствующие шины магистрали управления блока синхронизации, подключены соответственно к входам кодовой установки значений блока задания коэффициентов уравнения, к тактовому , входу переключения правого и левого краевых условий блока вычисления краевых условий искомой функции, к входам тактирования, сброса и останова блока вычисления искомой функции и к управляющим входам второго коммутатора.

ФИГ. 2.

/-f toas fJ

Фиг. 4.

Фаг. 5.

ГПР5

fJhW

l4tf,

.«.

l4tf,Htt « Д-1 j j

.«. « «fcv« fey , ..

$.-& «W № i

11

j jЗаписьj j p| |KeaHevvfv Хыдоча Janatb | I | Ij f | I Ц л/H«/r H fcoH

H«a/ P(/i

M Mfwtijw v

11 11 11 11 Hvfr |4/г

wbJ« II il1 II ,1

ill I I i I i i

тора Sjtoka. 9 // St

П П - П

u

D .

Д-1 j j i , i

fey , .., i .

№ i

БлОК-1

I

I M

H«a/ P(/i

l||

M Mfwtijw v

бл«2

Блок//

Г БлОк5

I I 5л OR6

I