Устройство для решения дифференциальных уравнений Советский патент 1988 года по МПК G06F17/13 

W

СО 00

со

со

со

. /

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для решения дифферециальных уравнений в частных производных.

Цель изобретения - повышение быстродействия устройства.

На фиг. 1 представлена структурная схема устройства; на фиг. 2 - схема блока управления; на фиг. 3 и 4 - схемы блока местного управления; на фиг; 5 - схема блока двунаправленной передачи данных; на фиг. 6 - схема решаюш,его блока; на фиг. 7 - схема блока однонаправленной передачи данных; на фиг. 8 - схема блока вычислений; на фиг. 9 и 10 - алгоритмы работы устройства; на фиг. 11 - временная диаграмма работы устройства.

Устройство содержит блок 1 ввода-вывода, блок 2 управления, первый 3: и второй 32 блоки местного управления, Л блоков , двунаправленной передачи данных, /V ре- шаюш.их блоков 5i-5., N групп блоков 6| - бг, однонаправленной передачи данных, блок 7 вычислений, системные выходные шины 8, системные входные шины 9, входные шины 10 блока 3 местного управления, выходные шины 11 блока 3 местного управления, выходные шины 12 решаюш,его блока 5, входные шины 13 решаюш,его блока 5, первые выходные шины 14 блока 7, первые входные шины 15 блока 7, вторые входные шины 16 матричного вычислителя 7, вторые выходные шины 17 матричного вычислителя 7.

Блок 2 управления может быть выполнен по известной схеме, и содержит узел 18 памяти, регистр 19 адреса, буфер 20 ввода- вывода, счетчик 21 команд, регистр 22 команд, буферный регистр 23, дешифратор 24 команд, узел 25 синхронизации.

Блок 3 местного управления может быть выполнен по известной схеме и содержит узел 26 памяти, регистр 27 адреса, буфер 28 ввода-вывода, счетчик 29 команд-, регистр 30 команд, буферный регистр 31, дешифратор 32 команд, узел 33 синхронизации, элемент И 34, дешифратор 35 адреса, элемент И 36, группу ключей 37, регистр 38 вывода, регистр 39 ввода, группу ключей 40, элемент И 41, элемент И 42, дешифратор 43 адреса.

Блок 4 двунаправленной передачи данных может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 44 вывода, группу ключей 45, элементы И 46 и 47, группу ключей 48, регистр 49 ввода, элемент И 50, дешифратор 51 адреса, дешифратор 52 адреса, элемент И 53.

Решаюший блок 5 может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 54 результата, узел 55 синхронизации, регистр 56 второго операнда, регистр 57 первого операнда, дешифратор 58 команд, счетчик 59 команд, сумматор 60, регистр 61 команд, регистр 62 адреса, регистр 63 частичного

результата, группу ключей 64, узел 65 памяти.

Блок 6 однонаправленной передачи данных может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 66, группу ключей 67, элементы И 68 и 69, дешифраторы 70 и 71 адреса.

Блок 7 вычислений может быть выполнен по известной схеме и содержит группу ре шающих блоков 72 (выполненных аналогично решающему блоку 5), группу блоков 73 двунаправленной передачи данных и две группы входных и выходных шин 74, 75 и 76, 77 блоков 73.

Устройство работает следующим образом.

В исходном состоянии устройство подготовлено к работе, т. е. в узел 18 памяти блока 2 управления записаны через блок 1 ввода управляющие программы, в узел 26 памяти блоков 3i и 32 местного управления записаны блоком 2 управляющие программы,

0 массивы коэффициентов, начальные и граничные условия, а в узлах 65 памяти решающих блоков 5 и 72 записаны управляющие и прикладные программы.

Рассмотрим работу устройства на приме5 ре решения задачи о стационарном течении вязкой жидкости, в терминах безразмерных переменных «функция тока - вихрь, в ограниченной области D, которая описывается системой дифференциальных уравнений

1 (§V I дудх 9 хЗу

(а)

04-0 х Эу2

со

(б)

:i)

35

3 эЛ t А ч,еТ| э v 8i/+ayV av +eIv 9j/+Vg +

(x, у, Z),

ах

(в)

довлетворяющей на 3D условиям прилипаия и непроницаемости:

0; (2)

1)условиям первого рода

(3)

на границе охлаждения;

2)второго рода

(, 2, 3)(4)

для боковых поверхностей параллелепипеда. Для системы (1) исходными являются первое и второе уравнения, с помощью которых определяются конвективные члены (К

и а результатом рещения -

распределение температур (Т) в области D. Введя в область D разностную сетку и заменив производные разностными отношениями, т. е. для аппроксимации оператора

2 13833914

Лапласа используем пятиточечную схему,Значение вихря на границе представляета первые производные аппроксимируем цент-ся в виде

р-альными разностями, получим для первого„ г7Тп i /i х n-i ,,,

уравнения системы (1) ,/(t )+(-«,)со, (11)

со,-+,,,-2(о,;+со,,,,. со,-,-+,-2а),-,/+ш,-,у-, .5 где а, параметр релаксации;

-- 1- г/(х(5 ) - зависимость между вихрем на гра унице и функцией тока вида

, .1 w,4-:.y-w,-i., , о со,-./+1-со,-./-,Д;|;)со(1-2а2)1|5 1+а2г|з о+а2Ц)2, (12)

.i2Л 2h

а2 - параметр сглаживания, значение

где Ai,,j В,,,,/. (5) модуля которого

Составляющие вектора скорости V и I/|а2| 1.

выражаются следующим образом через г). д уменьшения невязки решения треть i.;+i- Фл/-1 т, %+,. уравнения системы (1) и избавления

2Ау ./- 2/г (Ь) сеточных параметров применим метод раз„ ,,,деления переменных с использованием БПФ.

Для второго уравнения системы (1) по-д этого перепишем (8) следующим об У разом:

+Ь Г:1 /+ -Л 1 Ш ;:/±1 Ь ( - V) /+1 / /-2Ях7-/ /,+ (Я.+ V ) X

А -0);,; (7) X7 ,-i,y-i./+a/./7 .-,/,;+P/../+i,/+i+V;./X

Для третьего уравнения системы (1) ,i- :: :(2x,+/iJ(/,.+ ,, + /,+

используем аппроксимацию Самарского.

итоге получим : ,h i(Ri+R,), Т;,(,-. + ,

,Ii- ::n Zi M±IirI:i jl - -V „ 2Я, 1 „

/ +/.у+/./-.х -Jr--t+/.-. (Ii ttLrzIi:i- inl -zi ) L 21ijr :Ji|j l-,). p 2A,i,

h,i ,/-1 hyj-, 4yj + vr 1ize Mz,e+4e-V

, 2л. /7,,/+1-Г,;, 7,;,-7,,,л30 /,, (. ) .

+Л;,+Л:,1

Точное решение конечно-разностного ура7;+:,;-Г,1.у Ti,i+i - Ti,iвнения (13) представим в виде разложения

г V 2/ + I +по собственным функциям, содержащего

конечное число членов в виде:

) - - - If- - f- ( 4)

с условиями

%+,, ,,/; ij,,.-+,ij,,;,, ...,где ,;,/ |-S-Q,-;, ,-1,

Л, М, , .... L, , Ti+i,

Г -Т

i-l./,/, /;./,/+1 /,,/,/-.1 / Л г-1.

Для решения системы разностных урав-Подставим (14) и (13), получим

нений (5) и (7) используем метод оптималь- i- f . ;(

ной релаксации, в соответствии с которым() ak.i.i( д, - +

имеем для (5):45 ЬГ-IV nki

СИ) ,, , („-П , cci чуsin)+a/,;afe,,vsm - +P/,/o.;+i./+iX

c.,,U(l-a,)col; Ч4-+2(-рс-| + ет)

Xsmf +Y,,/«.,,-i,,-.,,,X X (1 +1 Cy/i - С/,7) a)l,;+(1 +1G.yl - С,,-)о +1у+

+(l+|d,vi-d,,+(l+|d,vl+rf,7W.50 vsin п

0, (9) ()

а для (7)

Приравнивая коэффициенты при одинаili n« lih -4--filv 1 --l-ih -4-ковых гармониках в (15), придем к соотноТм I )1 -Г41Т -|,,,,; jjjg j

+C-i+C-+i+w i; j, (10)55 p,.,a,y+i,,+ , + ,,,.,a;,,v+Y,,,va,,,,,,,

где G..V/./, ,Vij, a P -/ (16)

LI - оптимальный коэффициент релаксациигде X.,-./-L/,/-|-2(X -+-2-V)cos.

Алгоритм решения задачи включает следующие этапы:

1.Загрузка исходных данных из блоков 3| и За через блоки и 6i-бпл в решающие блоки 5i-5,v и в блок 7 вычислений;

2.Решение разностного аналога уравнения движения (1а) методом оптимальной релаксации в блоке 7 (в соответствии с формулой (9) определяется значение ы внутри области);

3.Рещение разностного аналога уравнения Пуассона (16) методом оптимальной релаксации в блоке 7 (в соответствии с формулой (10) определяется уточненное -ф);

4.Определение значения вихря на границе (сог) методом оптимальной релаксации с использованием регуляризации в блоке 7 (в соответствии с формулами 11 и 12);

5.Определяется невязка для каждой точки области D для значений -ф. Если невязка в допустимых пределах, то переход к п. 6, в противном случае возврат к п. 2;

6.Пересылаются полученные значения oj) внутри области и на границе, а для со только на границе из блока 7 через блоки 6i-6п в решающие блоки 5i-5д,;

7.Вычисляются в решающих блоках 5i- 5у в соответствии с формулой (6) значения V и V8.Решение разностного аналога уравнения (1в) методом разделения переменных с использованием БПФ (в соответствии с формулами 13 и 14).

Для реализации приведенного алгоритма по командам блока 2 управления блоки 3i и 32 местного управления по собственным программам параллельно загружают исходную информацию (коэффициенты, значения граничных условий) в решающие блоки 72. Для этого блок 32 местного управления выдает по шинам 11|, 1.12, Из соответственно данные, управляющий сигнал «Запись (ЗП) и адрес. В блоке 6i, которому адресуется блок За местного управления, срабатывает дeuJифpaтop 70 адреса с выхода которого активный сигнал совместно с активным сигналом ЗП поступает на входы элемента И 68. По сигналу с выхода элемента И 68 передаваемая информация с шин 111 записывается в регистр 66 и одновременно сигнал «Запрос поступает в решающий блок 72 (узел 55 синхронизации). По сигналу «Запрос решающий блок 72 переходит на подпрограмму чтения информации из регистра 66. Для этого решающий блок 72 выставляет на шинах 142 адрес, который поступает на вход дешифратора 71 адреса, а по шине 14i - активный сигнал «Чтение (ЧТ). По совокупности активных сигналов на входе элемента И 69 ключи 67 подключают выходы регистра 66 к шинам 15i и информация через группу ключей 64 записывается в регистр 54 результата, а затем запоминается в узле 65 памяти (фиг. 6). При чтении информации

из регистра 66 сигнал «Запрос по шине 102 сообщает блоку 3 местного управления, что можно передавать следующее слово. По инициативе блока 3 рассмотренный цикл пере- дачи повторяется. Последней командой передаваемого массива слов блок 32 местного управления запускает первый рещающий блок 72|,| на выполнение прикладной программы в соответствии с формулами (9) - (12). Для этого передается в рещающий

0 блок 72i,i код, соответствующий передаче управления, и адрес перехода.

Далее блок 32 местного управления переключается через соответствующий блок 62 к решающему блоку 722,i, загружает исходной информацией и передает ему управление. Таким образом, все п решающих блоков 72 со смещением во времени параллельно выполняют вычисления. После выполнения очередной итерации рещающие блоки 72 через блоки 73 обмениваются информацией с со0 седними рещающими блоками в соответствии с алгоритмом (9) и (10).

Для примера рассмотрим обмен информацией блоками 72|,1 и 72i.2 через блок 73i.i.,2,i. Если обмен инициируется рещающим блоком 72|,|, то на шинах 74i, 742 и 74з выстав- ляются соответственно данные, сигнал ЗП и адрес. В блоке 73 срабатывает дешифратор 52 адреса и по активному сигналу с выхода элемента И 46 передаваемая информация записывается в регистр 44. По сигнаQ лу «Запрос (шина 762) решающий блок 722,i принимает информацию через ключи 45 и шину 76i в узел памяти. Для этого выставляется по шинам 772.2 и 77j соответственно сигнал ЧТ и адрес блока 73i,i;2.i- Передача информации из решающего блока 722,i в

5 Si, осуществляется аналогично рассмотренному через регистр 49 и ключи 48.

После получения решения с определенной точностью в блоке 7 значения 1|з;,/ и щ,,,- пересылаются в решающие блоки 5i-5д через группы блоков 6. Каждому t-му столбцу ре0 шаюших блоков 72 в блоке 7 соответствует i-й решающий блок 5. Во время выполнения вычислений в блоке 7 блок 3i местного управления через блоки . загружает исходной информацией решающие блоки 5: - 5д, которые после приема информации из блока 7 приступают к выполнению п. 7 и 8 описанного алгоритма. Более подробно алгоритм работы блоков 5i-5 приведен на фиг. 10.

После того, как определено распределеп ние температур (Т) в текущей плоскости, результаты через блоки 4i-4,v пересылаются в блок 3i для последующего вывода. Во время работы блоков 5i-5д- по расчету значений искомой функции в текущей плоскости блок 7 приступает к расчету т|5 и со для следующей

5 плоскости.

Формула изобретения Устройство для рещения дифференциальных уравнений, содержащее блок ввода-вывода, блок управления, два блока местного управления. Л блоков двунаправленной передачи данных, где N - линейный размер области определения уравнения, с первого по yV-й рещающие блоки, первый, второй и третий выходы блока управления подключены соответственно к первым, вторым и к третьим входам режима первого и второго блоков местного управления, первые выходы первого и второго блоков местного управления объединены и подключены к первому входу режима блока управления, вторые выходы первого и второго блоков местного управления объединены и подключены к второму входу режима блока управления, четвертый и пятый выходы блока управления подключены соответственно к информационному и управляющему входам блока ввода- вывода, информационный выход которого подключен к третьему входу режима блока управления, третий, четвертый и пятый выходы первого блока местного управления подключены соответственно к первым информационным, первым управляющим и к вторым информационным входам Л блоков двунаправленной передачи данных, первые информационные выходы N блоков двунаправленной передачи данных объединены и подключены к четвертому входу режима первого блока местного управления, первые управляющие выходы N блоков двунаправленной передачи данных объединены и подключены к пятому входу режима первого блока местного управления, отличающееся тем, что, с целью повышения быстродействия устройства, оно содержит N групп по п блоков однонаправленной передачи данных, где п - размерность уравнения, ()-ю группу из п блоков однонаправленной передачи данных и блок вычислений, первый информационный выход /С-го решающего блока (, ..., N) подключен к третьему информационному входу /С-го блока двунаправленной передачи данных, второй информационный и управляющий выходы К-го рещающего блока подключены, соответственно, к четвертому информационному и к второму управляющему вхоДам каждого блока двунаправленной передачи данных, а также соответственно к первым информационным и к первым управляющим входам п блоков однонаправленной передачи данных /С-й группы, первые информационные выходы п блоков однонаправленной передачи данных /C-fl группы и второй информа0

5

0

5

0

5

0

5

ционный выход К-го блока двунаправленной передачи данных объединены и подключены к информационному входу К-го решающего блока, первые управляющие выходы п блоков однонаправленной передачи данных /(-и группы и второй управляющий выход /С-го блока двунаправленной передачи данных объединены и подключены к управляющему входу /(-го рещающего блока, вторые управляющие выходы п блоков однонаправленной передачи данных (Л +1)-й группы объединены и подключены к пятому входу режима второго блока местного управления, третий, четвертый и пятый выходы второго блока местного управления подключены соответственно к вторым информационным, вторым управляющим и к третьим информационным входам п блоков однонаправленной передачи данных (Л -|-1)-й группы, первые информационные выходы блоков однонаправленной передачи данных с первого по (Л -|-1)-й группы подключены соответственно к информационным входам с первого по первой группы блока вычислений, первые управляюц ие выходы блоков однонаправленной передачи данных с первого по (ЛЧ-1)-й группы подключены соответственно к управляющим входам с первого по п первой группы блока вычислений, вторые управляющие выходы п блоков однонаправленной передачи данных /С-й группы объединены и подключены к /С-му управляющему входу второй группы блока вычислений, первые информационные входы блоков однонаправленной передачи данных с первого по л -й (Л +О-й группы подключены соответственно к информационным выходам с первого по п первой группы блока вычислений, первые управляющие входы блоков однонаправленной передачи данных с первого по ()-ft группы подключены соответственно к управляющим выходам с первого по первой группы блока вычислений, /С-й информационный выход второй группы блока вычислений подключен к вторым информационным входам п блоков однонаправленной передачи данных /С-й группы, /С-й управляющий выхОд второй группы блока вычислений подключен к вторым управляющим входам п блоков однонаправленной передачи данных /С-й группы, /С-й информационный выход третьей группы блока вычислений подключен к третьим информационным входам п блоков однонаправленной передачи данных каждой группы.

/Л i J 3 I /h

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для решения дифференциальньЕХ уравнений в частных производных. Цель изобретения- повышение быстродействия устройства. Поставленная цель достигается тем, что устройство содержит блок 1 ввода-вывода, блок- 2 управления, два блока 3i и 32 местного управления, N блоков двунаправленной передачи данных, где N - линейный размер области определения уравнения, N решающих блоков 5i-5, N групп по п и (УУ-|-1)-ю группу из п блоков 6 однонаправленной передачи данных, где п - размерность уравнениями блок 7 вычислений. 11 ил.

Фиг.2

Фиг.З

Н/74,.

SyHO npci& eHHt.iu хамнутвтрр , 73 W

},IKi)

I2,ln,)

2,177

)

M7S2)

фиг. 5

OdHOHonpaS/ieHHb/u коммутатор 6

///w/;

66

///№j Ч

3n

/

6B

1ЫШ

-

Запрос

10 (16)

иг. 7

J32(l5z) 2j( 4j)

Фиг 6

-S л

(fJf)

/jT

f4f(fJ)

Запрос

(Г32

)

K.S{

С

Начало

Решение разностного аналога

ураднения д6и)цения . -L (dlt-i , w, дч d(J дЧ ди ке dx Г Л/ л дх ду

с учетом граничные условий

Решеник разностного аналога (/раИненм Пуассона д ч дх : учетам граничных услоВий

.„,. 4-.„

Определение значения 8ииря на границе

и;,ог,Л,- -;+Г7-ы,;а;Г

i( )-u)0-2ci2} di Сг

Нет

Ла

Решение разностного аналога ираЬнения теплопроводности J ,. JT . д f. ST. а f. дт , J(

V ,tj,z) с учетом

граничных у ело Вий Т :Tc,Wn,Q

СКонец)

Гметод

- - релаксации.

ГМетод релаксации

Метод релаксации с использованием регуляризации.

Методы разделения переменных с использованием быстрого преоВразодания Фурье

ФигЛО