Устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных Советский патент 1979 года по МПК G06F17/13 

1

Предлагаемое изобретение относятся к области вычислительной техники и может быть использовано при конструировании и разработке специализированных устройств, предназначенных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Известно устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных длн п пространственных координат, предствалягощее собой 2п резисторов, один из .йыводов которых подключен к общей точке, узлу сетки, а другой служит информационным входом для поступления потенциалов соседних узлов. Для Моделирования зависимостей по временной координате к узлу сетки подключается одним выводом в Р -сетках резистор, в T5G -сетках емкость, второй вывод Которых заземлен. Система уравнения Кирхгофа, описывающая функционирование такого устройства, соответствует конечно-разностной системе для дифференциального уравнения, и потенциал

.в узле соответствует искомому решению 1.

Недостатками подобных устройств являются: ограниченная точность решения, определяемая точность сопротивлений и конденсаторов; трудности автоматизации процесса решения, связанные с установкой номиналов сопротивлений и емкостей и организацией объема информацией между сеткой и ЦВМ; трудности в

0 разработке математического обеспечения, связанные с проблемами получения системы машинных уравнений, отличающейся от исходной конечно азностной системы.

5

Наиболее близким по технической сущности к предложенному является устройство для решения дифференциальных уравнений в частных. производЕ1ЫХ, содержащее блок ввода, блок )гмножения, выход которого соединен с суматором, первый и второй регистры, первые входы которых подключены к ин({юрмационному входу устройства, вторые входы регист роВ соёдинёг ы с управляюш гм входом устройства, выход первого регистра под ключен к первому входу блока умножения и к третьему входу второго регист. ра, выход которого соединен со вторым входом блока умножения 2 . Указанное устройство содержит бло. ки, которые позволяют решать уравнение стационарной или нестационарной теплопроводности Lu О, где U соответственно равно Д или где Д - оператор Лапласа, итерационным методом, применяемым к разностной схеме Ли О, где Л -paakocT ный аналог оператора U . В частности, известное устройство реализует метод простой итерации где К - номер итерации;. Q - итерационный параметр. Приэтом итерационный процесс сходится, если 0 принимает значения в опрёделенном диапазоне, характеривирующем область устойчивого решения. Недостатком устройства является относительно невысокое быстродействие, обусловленное сравнительно медленной сходимость итерационного метода. Целью предлагаемого изобретения является повь шение быстродействия. Это достигается тем, что в устройство введены блок возведения в квадрат и блок деления, выход которого подключе к третьему входу первого регистра, выход которого соединен со входом блока вбвведения в квадрат, выход которого подключен к первому входу блока деления, со вторым входом которого соединен выход сумматора, выход блока ввода соединен с третьим входом блока умножения. Блок-схрма устройства представлена на чертеже. Устройство содержит первьй регистр 1, второй регистр 2, блок 3 ввода, блок 4 умножения, сумма тор 5, блок б деления, блок 7 возведения в квадрат. Выход 8 пфвого регистра 1 является выходом устройст вход блока 3 ввода является входом 9 устройства. На вход 10 подаются нача ные условия, (ш вход 11 - управляющи сигнал. Первый регистр 1 предназначен для хранения и выдачи на к-тс1 итерации работы устройства текущего решения и и записи полученного решения U 1. 4 Второй регистр 2 предназначен для хранения и выдачи начального условия при итерировании на каждом временном слое при решении уравнения нестационарной теплопроводности и для записи решения XT по окончании иТерй1ИонноГо процесса. Блок 3 служит для ввода в устройство информации о решении в соседних узлах сетки (соседних устройствах). Блок 4 умножения служит для получения про-. изведений текущего решения U на соот- ветствующие коэффициенты итерационной формулы, реализуемой устройством. Сумматор 5 предназначен для получения суммы произведений, поступаюших из блока 4 умножения. Блок 7 возведения в квадрат предназначен для получения квадрата текущего решения U в соответствии с итерационной формулой, реализуемой устройством. Блок 6 деления предназначен для получения на к-той итерации решения и в соответствии с итерационной формулой, реализуемой устройством. Алгоритм устройства имеет вид и -©Ли а) Обозначения в итерационной формуле (2) :соответствуют. обозначениям формулы (1). Рассмотрим итерационный процесс (2) более подробно для уравнения стационарной теплопроводности, т.е. когда L. А-. Для случая одномерной задаПри переходе к разностной чи Д схеме непрерывный аргумент заменяется дискретным ху так ,что шаг по координате х hy « - Х,тогда разностная схема имеет вид Ч- U.-U;.,, 05() Подставив (3) в (2) и сгрупировав подобные члены в знаменателе, имеем итерационную формулу, реализуемую устройством ., С гдео( - соответствующие коэффициенты, определенные видом формулы (2) и (З). Устройство работает следующим образом. В регистры 1, 2 по управляющему сигналу на входе 11с входа 10 записыбаются начальные условия. Значение Uпоступает с выхода регистра 1 на вход блока 4 умножения на остальные входы которого поступают значения U , Vс выхода блока 3 ввода и, если решается нестационарное уравнение, то начальное условие поступает с выхода регистра 2. Указанные величины умножаются в блоке 4 умножения на соответствующие коэффициенты согласно формуле (4), после чего поступают на вход сумматора 5, где суммируются, образуя знаменатель правой части формулы (4). Кроме того, V- с выхода регистра 1 поступает на вход блока 7 возведение в квадрат с выхода которого величина(иГ) . являющаяся числителем дроби, стоящей в правой части формулы (4), поступает на вхоД:,блока 6 деления, на другой вход которого с выхода сумматора 5 поступает знаменатель этой дроби.. Частное от деления в соответствии с алгорит мом работы устройства является значением U- текущего решения, найденного на первой итерации, и поступает с выхода блока 6 деления в первый регистр 1, после Чего итерация работы устройства повторяется.при этом определяется значение U. и т.д. до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется с заданной точностью. После чего, если решается нестационарное уравнение, найденное на временном слое решение 17 по управляющему сигналу на входе 11 перепишется с выхода регистра 1 в регистр 2 в качестве начального условия для следующего временного слоя, на котором вновь повторяется итерационный процесс нахождения решения. Использование в устройстве блока воз ведение в квадрат и блока деления поз//6,16 воляет осуществить более устойчив1.гй итерационный процесс (2) по срав1гению с итерационным процессом {1). Формула изобретения Устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее блок ввода, блок умножения, выход которого соединен с сумматором, первый и второй регистры, первые входы которых подключены к информационному входу устройства, вторые входы регистров соединены с управляющим входом устройства, выход первого регистра подключен к первому входу блока умножения и к третьему входу второго регистра, выход которого соединен со вторым входом блока умножения, отличающееся тем, что, с целью повышения быстродействия, в устройство введены блок возведения в квадрат и блок деления, выход Которого подключен к третьему входу первого регистра, выход которого соединен со входом блока возведения в квадрат, выход которого подключен к пер.вому входу блока деления, со вторым Входом которого сеединен выход сумматора, выход блока ввода соединён с третьим входом блока умножения. Источ ник и и нформации, принятые во внимание при экспертизе 1.Козлов Э. С., Сергеев Н. П., Fliiколаев Н. С. Автоматизация процессов ещения краевых задач с помошью сеточных ,АУВМ, М., Энергия, 1974. 2.Авторское свидетельство СССР 373735, кл. 06 С 7/56, 1973 (прототип).